¿Por qué es tan importante el álgebra abstracta?

Question

En mis estudios de física y matemáticas, he encontrado bastante geometría, teoría de grupos de Lie y de representaciones, y análisis real y complejo, y entiendo por qué estas ramas de las matemáticas son importantes. Pero he aprendido muy pocas aplicaciones de la teoría de los anillos o de otras álgebras abstractas fuera del propio álgebra abstracta (salvo algunas en la teoría de los números). Al mismo tiempo, creo que se considera vital para cualquier aspirante a matemático aprender álgebra abstracta a nivel de posgrado.

¿Por qué se considera tan importante el álgebra abstracta? Se agradecerían ejemplos de aplicaciones fuera del álgebra abstracta y fuera de las matemáticas.

Para reducir un poco el alcance de la pregunta, estoy preguntando específicamente sobre la teoría de anillos, campos, etc. Me doy cuenta de que el término "álgebra abstracta" es un poco más amplio de lo que pretendía.

Answer 1

El álgebra abstracta tiene una forma interesante de hacer más transparente un problema olvidando las propiedades superfluas. Daré algunas aplicaciones del mundo real para ilustrarlo:

Supongamos que eres un físico que estudia el movimiento de una partícula en movimiento modelado por alguna ecuación diferencial. Para encontrar las soluciones de dicha ecuación, se suele tomar la transformada de Fourier y resolver el problema algebraico correspondiente. Lo que la transformada de Fourier hace esencialmente es permitirnos ver más allá de la complejidad que surge de tomar derivadas para iluminar un problema algebraico subyacente.

Como otro ejemplo, supongamos que se estudian los efectos de un campo gravitatorio en una determinada zona del espaciotiempo. Las partículas que viajan a través de esta zona están sujetas a la curvatura del espaciotiempo inducida por el campo gravitatorio. De nuevo, esta situación es extremadamente complicada. Sin embargo, podemos reducir el problema a un problema algebraico local. Es decir, utilizamos el haz tangente y una métrica que varía suavemente para describir su movimiento.

Otro ejemplo se remonta a Descartes. Las formas geométricas son difíciles de entender, pero imponer coordenadas a esos objetos nos permite utilizar técnicas algebraicas para comprenderlos mejor.

Las anomalias en física surgen como elementos de grupos de cohomología. Sin la noción de grupo, serían muy difíciles de calcular. Es posible que ni siquiera se sepa por dónde empezar.

La conclusión es que sabemos cómo hacer álgebra. Es la capacidad de traducir los problemas difíciles en problemas algebraicos lo que la hace tan útil.

Answer 2

Las partículas fundamentales "son" representaciones irreducibles del grupo de simetría del universo.

Si quieres algunas aplicaciones de la teoría de los anillos, aparece en la topología a través de los anillos de cohomología .