En mis estudios de física y matemáticas, he encontrado bastante geometría, teoría de grupos de Lie y de representaciones, y análisis real y complejo, y entiendo por qué estas ramas de las matemáticas son importantes. Pero he aprendido muy pocas aplicaciones de la teoría de los anillos o de otras álgebras abstractas fuera del propio álgebra abstracta (salvo algunas en la teoría de los números). Al mismo tiempo, creo que se considera vital para cualquier aspirante a matemático aprender álgebra abstracta a nivel de posgrado.
¿Por qué se considera tan importante el álgebra abstracta? Se agradecerían ejemplos de aplicaciones fuera del álgebra abstracta y fuera de las matemáticas.
Para reducir un poco el alcance de la pregunta, estoy preguntando específicamente sobre la teoría de anillos, campos, etc. Me doy cuenta de que el término "álgebra abstracta" es un poco más amplio de lo que pretendía.
10 votos
Y yo que pensaba que gran parte de la física es teoría de grupos aplicada...
13 votos
¿Cómo se pueden estudiar los grupos de Lie y la teoría de las representaciones sin el álgebra abstracta?
0 votos
@TobiasKildetoft Principalmente usando geometría diferencial y algunos teoremas relativamente fáciles como el primer teorema de isomorfismo - nunca he visto teoremas algebraicos "profundos" usados para grupos de Lie, así que sería genial si pudieras proporcionar un ejemplo.
2 votos
Supongo que depende de lo que se entienda por "profundo". Yo estoy familiarizado con esto principalmente desde el punto de vista de las álgebras de Lie, donde por ejemplo existe algo como la fórmula de la suma de Jantzen, que utiliza bastante álgebra abstracta (una gran parte de la idea es que se pueden generalizar muchas cosas de los campos a los dominios Dedekind).
1 votos
Supongo que la teoría cuántica algebraica sería bastante difícil sin el álgebra.
2 votos
No escribiré esto como respuesta, ya que la mayor parte está por encima de mi cabeza actualmente, pero he encontrado bastantes referencias al álgebra abstracta en el campo de la criptografía, en algoritmos de privacidad como las pruebas de conocimiento cero.