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¿Por qué es tan importante el álgebra abstracta?

En mis estudios de física y matemáticas, he encontrado bastante geometría, teoría de grupos de Lie y de representaciones, y análisis real y complejo, y entiendo por qué estas ramas de las matemáticas son importantes. Pero he aprendido muy pocas aplicaciones de la teoría de los anillos o de otras álgebras abstractas fuera del propio álgebra abstracta (salvo algunas en la teoría de los números). Al mismo tiempo, creo que se considera vital para cualquier aspirante a matemático aprender álgebra abstracta a nivel de posgrado.

¿Por qué se considera tan importante el álgebra abstracta? Se agradecerían ejemplos de aplicaciones fuera del álgebra abstracta y fuera de las matemáticas.

Para reducir un poco el alcance de la pregunta, estoy preguntando específicamente sobre la teoría de anillos, campos, etc. Me doy cuenta de que el término "álgebra abstracta" es un poco más amplio de lo que pretendía.

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Y yo que pensaba que gran parte de la física es teoría de grupos aplicada...

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¿Cómo se pueden estudiar los grupos de Lie y la teoría de las representaciones sin el álgebra abstracta?

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@TobiasKildetoft Principalmente usando geometría diferencial y algunos teoremas relativamente fáciles como el primer teorema de isomorfismo - nunca he visto teoremas algebraicos "profundos" usados para grupos de Lie, así que sería genial si pudieras proporcionar un ejemplo.

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user43687 Puntos 923

El álgebra abstracta tiene una forma interesante de hacer más transparente un problema olvidando las propiedades superfluas. Daré algunas aplicaciones del mundo real para ilustrarlo:

Supongamos que eres un físico que estudia el movimiento de una partícula en movimiento modelado por alguna ecuación diferencial. Para encontrar las soluciones de dicha ecuación, se suele tomar la transformada de Fourier y resolver el problema algebraico correspondiente. Lo que la transformada de Fourier hace esencialmente es permitirnos ver más allá de la complejidad que surge de tomar derivadas para iluminar un problema algebraico subyacente.

Como otro ejemplo, supongamos que se estudian los efectos de un campo gravitatorio en una determinada zona del espaciotiempo. Las partículas que viajan a través de esta zona están sujetas a la curvatura del espaciotiempo inducida por el campo gravitatorio. De nuevo, esta situación es extremadamente complicada. Sin embargo, podemos reducir el problema a un problema algebraico local. Es decir, utilizamos el haz tangente y una métrica que varía suavemente para describir su movimiento.

Otro ejemplo se remonta a Descartes. Las formas geométricas son difíciles de entender, pero imponer coordenadas a esos objetos nos permite utilizar técnicas algebraicas para comprenderlos mejor.

Las anomalias en física surgen como elementos de grupos de cohomología. Sin la noción de grupo, serían muy difíciles de calcular. Es posible que ni siquiera se sepa por dónde empezar.

La conclusión es que sabemos cómo hacer álgebra. Es la capacidad de traducir los problemas difíciles en problemas algebraicos lo que la hace tan útil.

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grjj3 Puntos 34

Las partículas fundamentales "son" representaciones irreducibles del grupo de simetría del universo.

Si quieres algunas aplicaciones de la teoría de los anillos, aparece en la topología a través de los anillos de cohomología .

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Esta es una razón para estudiar la teoría de la representación y los grupos de Lie. No veo cómo motiva una teoría totalmente general de anillos o grupos.

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Respondía a "¿Por qué se considera tan importante el álgebra abstracta? Se agradecerían ejemplos de aplicaciones fuera del álgebra abstracta y fuera de las matemáticas". El autor ha hecho diez preguntas en una. Si sólo quiere aplicaciones de la teoría de anillos o de la teoría de grupos más general, o una morigeración de las mismas, debería revisar el post para reducir el ridículo alcance de lo que acabo de citar. Mi respuesta, en cualquier caso, ofrece un ejemplo importante de una aplicación "fuera de las matemáticas", a diferencia de la respuesta de E.T.

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"Si sólo quiere aplicaciones de la teoría de anillos o de la teoría de grupos más general, o morigeración de la misma, debería revisar el post para acotar el ridículo alcance de lo que acabo de citar." No estoy de acuerdo, hacer preguntas de gran alcance no es ridículo. Por mi experiencia tratando de enseñarme matemáticas en internet es casi imposible aprender algo desde cero haciendo preguntas estrechas, son las amplias las que son más reveladoras y te dan una idea de cómo opera la gente en el campo. Buena respuesta, sin embargo, +1

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