La integración de $\int_0^{\pi/2} \cos^a(x) \cos(bx) \ dx$

Question

Por favor me ayude en esta integral :

$$\int_0^{\pi/2} \cos^a(x) \cos(bx) \ dx \quad \text{if}\; b>a>-1$$

Por favor me ayude, he usado de todo y no se puede evaluar.

Answer 1

$$\begin{align} &\int_0^{\frac\pi2}\cos^a(x)\cos(bx)\,\mathrm{d}x\\ &=\mathrm{Re}\left(2^{-a}\int_0^{\frac\pi2}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^ae^{ibx}\,\mathrm{d}x\right)\tag{1}\\ &=\mathrm{Re}\left(2^{-a}\int_0^{\frac\pi2}\left(1+e^{-2ix}\right)^ae^{i(a+b)x}\,\mathrm{d}x\right)\tag{2}\\ &=\mathrm{Re}\left(2^{-a}\int_0^{\frac\pi2}\left(1+e^{-2ix}\right)^ae^{i(a+b+2)x}\,\frac{i}{2}\mathrm{d}e^{-2ix}\right)\tag{3}\\ &=\mathrm{Re}\left(2^{-a}\int_1^{-1}\left(1+u\right)^au^{-(a+b)/2-1}\,\frac{i}{2}\mathrm{d}u\right)\tag{4}\\ &=\mathrm{Re}\left(2^{-a}\int_0^{-1}\left(1+u\right)^au^{-(a+b)/2-1}\,\frac{i}{2}\mathrm{d}u\right)\tag{5}\\ &=\mathrm{Re}\left(2^{-a}\int_0^1\left(1-u\right)^au^{-(a+b)/2-1}e^{i\pi((a+b)/2+1)}\,\frac1{2i}\mathrm{d}u\right)\tag{6}\\ &=\mathrm{Re}\left(2^{-a-1}e^{i\pi((a+b+1)/2)}\int_0^1\left(1-u\right)^au^{-(a+b)/2-1}\,\mathrm{d}u\right)\tag{7}\\ &=2^{-a-1}\cos(\pi(a+b+1)/2)\int_0^1\left(1-u\right)^au^{-(a+b)/2-1}\,\mathrm{d}u\tag{8}\\ &=2^{-a-1}\sin(-\pi(a+b)/2)\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(-(a+b)/2)}{\Gamma(1+(a-b)/2)}\tag{9}\\ &=\frac{\pi\,2^{-a-1}\,\Gamma(a+1)}{\Gamma(1+(a-b)/2)\,\Gamma(1+(a+b)/2)}\tag{10} \end{align}$$ Explicación:
$(1)$ escribir funciones trigonométricas como exponenciales
$(2)$ pull $e^{iax}$ fuera de los paréntesis
$(3)$ $\mathrm{d}x=e^{i2x}\frac i2\,\mathrm{d}e^{-2ix}$
$(4)$ $u=e^{-2ix}$ ($u$ viaja hacia la derecha a lo largo del círculo unidad de $1$ $-i$%#%
$-1$ luego de Cauchy teorema nos permite deformar la countour a
$\hphantom{(4)\ u=e^{-2ix}(}$ justo debajo del eje real de$\hphantom{(4)\ u=e^{-2ix}(}$$1$%#%)
$0$ integral de $-1$ $(5)$es imaginario puro, por lo que nos puede caer
$1$ $0$ y desde $(6)$ pasaron por debajo de $u\mapsto-u$ $u$ $0$
$e^{-i\pi}$ tire el carácter imaginario de frente
$-1$ tomar la parte real
$(7)$ el uso de la integral de la función Beta
$(8)$ el uso de la reflexión fórmula $(9)$ $(10)$