El volumen I de Shaferevich del Básico de la Geometría Algebraica tiene el siguiente ejercicio:
Muestran que la variedad afín $U$ es irreducible si y sólo si su cierre $\bar U$ en un espacio proyectivo es irreductible.
Desafortunadamente, él no explícitamente dar una definición de la irreductibilidad de quasiprojective variedades. Basado en la definición de (cerrado) establece en el espacio afín, supuse que una quasiprojective variedad $X$ es reducible si hay conjuntos cerrados $Z_1, Z_2$ de manera tal que no contiene $X$ y tales que $$\left ( Z_1 \cap X \right ) \cup \left ( Z_2 \cap X \right ) = X$$ (es decir, $X$ puede ser escrito como un trivial de la unión de conjuntos que son cerrados con respecto a $X$).
He encontrado una bastante fácil la prueba de que $U$ es reducible iff $\bar U$ es, que da a la proposición. Sin embargo, desconfío porque no confían en absoluto en el hecho de que $U$ es una variedad afín, o incluso un quasiprojective variedad en absoluto (en el sentido de que si se define irreductibilidad de arbitraria de subconjuntos de un espacio proyectivo, que todavía funciona).
Una razón para esto podría ser que un quasiprojective variedad es irreductible iff su proyectivas de cierre es, y el punto de este ejercicio es observar este, y que las definiciones de irreductibilidad para afín variedades y para afín conjuntos cerrados de acuerdo. La otra podría ser que mi solución no funciona, o que me he equivocado de definición. Me estoy preguntando cual es el caso.
Mi prueba es como sigue: en Primer lugar asumir que $U$ es reducible. La hemos conjuntos cerrados $Z_1$, $Z_2$, ninguno de los cuales contienen $U$, de tal manera que $ \left ( Z_1 \cap U \right ) \cup \left (Z_2 \cap U \right ) = U$. Como $Z_1 \cup Z_2 \supseteq U$ está cerrado, tenemos a $Z_1 \cup Z_2 \supseteq \bar U$. Pero tampoco de la $Z_i$ contienen $\bar U$, ya que el $\bar U \supseteq U$, y desde $Z_1 \cup Z_2$ es un conjunto cerrado que contiene $U$, $Z_1 \cup Z_2$ contiene $\bar U$$\left ( Z_1 \cap \bar U \right ) \cup \left ( Z_2 \cap \bar U \right ) = \bar U$, de modo que $\bar U $ es reducible. La prueba en el otro sentido es casi idéntico.
