Prueba de $\frac{1-r^2}{1-2r \cos \theta + r^2}=1+2\sum_{k=1}^{\infty} r^k \cos k\theta$ $0 < r < 1$

Question

Cómo probar lo siguiente: para el $0 < r < 1,$ % $ $$\frac{1-r^2}{1-2r \cos \theta + r^2}=1+2\sum_{k=1}^{\infty} r^k \cos k\theta.$

Empecé con el lado izquierdo como $$\frac{1-r^2}{1-2r \cos \theta + r^2}=\textrm{Re} \left( \frac{1+r e^{i \theta}}{1 - r e^{i \theta}} \right),$ $ de escritura pero no tuvo éxito. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Usando coordenadas polares tienes que $z=r\cos\theta+ ri\sin \theta $ y así de Moivre fórmula $z^k=r^k\cos(k\theta)+ r^ki\sin (k\theta).$, $$\sum_{k=1}^\infty r^k\cos(k\theta)+ r^ki\sin (k\theta)=\sum_{k=1}^\infty z^k=\frac{z}{1-z}$ $ ahora sólo tienes que encontrar la parte real de $\frac{z}{1-z}$.

Answer 2

El enfoque en la OP es una buena. Procedimiento podemos escribir

$$\begin{align} \frac{1+re^{i\theta}}{1-re^{i\theta}}&=(1+re^{i\theta})\sum_{k=0}^\infty r^ke^{ik\theta}\\\\ &=\sum_{k=0}(r^ke^{ik\theta}+r^{k+1}e^{i(k+1)\theta})\\\\ &=1+2\sum_{k=1}^\infty r^ke^{ik\theta} \end {Alinee el} $$

que después de tomar la parte real da

$$\text{Re}\left(\frac{1+re^{i\theta}}{1-re^{i\theta}}\right)=1+2\sum_{k=1}^\infty r^k\cos(k\theta)$$

¡como era de mostrarse!