el menor primo impar que deja un resto primo cuando se divide por el primero $n$ Primas Impares

Question

¿Cuál es el menor primo impar que da un resto primo cuando se divide por $3$ ? Es $5$ . ¿Cuál es el menor primo impar que da restos primos para ambos $3$ y $5$ ? Es $17$ . Para la división por $3,5,7$ también es $17$ . Para la división por $3,5,7,11$ es $47$ . La secuencia es $$5,17,17,47,863,887,887,887,887,887...$$ Tenga en cuenta que $887$ deja un resto primo bajo la división por todos los primos de $3$ a $31$ (pero no $37$ ).

Si se continúa la secuencia, ¿ocurrirá algún otro primo cinco (o más) veces veces seguidas?

Answer 1

Este es un argumento heurístico muy aproximado que permite esperar repeticiones de longitud $5$ (o más) se produzca con una frecuencia infinita.

Si $P_n$ es el menor primo (impar) que da un resto primo cuando se divide por cada uno de los primos $3,5,7,\ldots,p_n$ la probabilidad de que sus restos bajo la división por el siguiente $4$ los primos también son primos es aproximadamente

$$\left(n\over p_n\right)^4$$

(Una aproximación más "precisa" sería ${n\over p_{n+1}}\cdot{n+1\over p_{n+2}}\cdot{n+2\over p_{n+3}}\cdot{n+3\over p_{n+4}}$ pero para los grandes $n$ La expresión mostrada es suficiente. La premisa heurística básica es que cuando se divide un número "aleatorio" por $q$ el resto es igualmente probable que sea cualquier número menor que $q$ .) Por tanto, la probabilidad de que el siguiente $4$ los remanentes son no todo primo es aproximadamente

$$1-\left(n\over p_n\right)^4$$

y por tanto la probabilidad de que una repetición de longitud $5$ nunca sucede de nuevo más allá de algún punto $N$ es aproximadamente

$$\prod_{n\gt N}\left(1-\left(n\over p_n\right)^4\right)$$

Ahora el teorema de los números primos implica $p_n\approx n\ln n$ por lo que la probabilidad aproximada se convierte en

$$\prod_{n\gt N}\left(1-\left(1\over\ln n\right)^4\right)$$

Pero ese producto infinito "condiciona" a $0$ (es decir, su logaritmo es la serie divergente $\sum\ln(1-({1\over\ln n})^4)\approx-\sum({1\over\ln n})^4=-\infty)$ lo que podemos interpretar, heusticamente, como que no hay posibilidad de que una repetición de longitud $5$ no volverá a ocurrir. Tenga en cuenta que no hay nada especial en el número $5$ el argumento funciona igual para cualquier longitud de repetición fija.