Hay una disección de la prueba del Teorema de Pitágoras para tetraedros?

Question

De los muchos buenos pruebas del teorema de Pitágoras, uno de los grandes de la clase es la "disección" de las pruebas, donde la suma de las áreas de los cuadrados de los dos catetos es mostrado ser la misma que el área del cuadrado sobre la hipotenusa. Por ejemplo:

Una generalización del teorema de Pitágoras es De Gua del Teorema, que se refiere al ángulo recto tetrhaedra:

Para un tetraedro, las áreas de $A,B,C$ de las tres "patas" están relacionados con el área de $D$ de la "hipotenusa" por la fórmula $$A^2 + B^2 + C^2 = C^2.$$ Ver aquí para una simple prueba de este teorema. Tenga en cuenta que ambos lados de esta ecuación tienen unidades de área del cuadrado, es decir, de cuatro dimensiones de volumen.

Mi pregunta es:

Es posible demostrar De Gua del Teorema de uso de una "disección" en cuatro dimensiones?

No hay ninguna razón para ser estrictos en la definición de una "disección" -- ninguna prueba de la participación de cuatro dimensiones volumen sería bienvenido. Por ejemplo, sin duda, sería interesante disponer de una prueba de De Gua del Teorema que implica la esquila en cuatro dimensiones.

Answer 1

Volver a colocar mi comentario como respuesta:

Si interpreto tu pregunta como "¿hay una tijeras de la congruencia entre las cuatro dimensiones polytopes $D^2$$A^2 \sqcup B^2 \sqcup C^2$", la respuesta es sí.

Puedo tomar cada paso de la prueba a cortar el nudo y reemplazar la igualdad entre el volumen de tijeras de congruencia. En términos generales, a cada paso en el argumento que reemplaza un triángulo con base $b$ y la altura de la $h$ $b \times (h/2)$ rectángulo, o bien se sustituye el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo por la unión de los dos cuadrados en los lados. (Más precisamente, hace estas cosas y, a continuación, hace un poco de álgebra, la cual puede ser interpretada como tomar los productos y los distintos sindicatos con algunos otros polytopes.)

Tanto la sustitución de un triángulo con base $b$ y la altura de la $h$ $b \times (h/2)$ rectángulo, y reemplazar el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo por la unión de los dos cuadrados en los lados, tienen la descomposición de las pruebas. Componer todas esas descomposiciones y obtendrás una prueba de este resultado.