Integral iterada pregunta

Question

Espectáculo $$\lim_{n \to\infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 \int_0^1 \frac{ x_1^2 + \cdots + x_n^2}{x_1 + \cdots + x_n} \, dx_1 \cdots dx_n = \frac 2 3.$$

No está seguro de cómo empezar esta integral iterada pregunta, cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Supongamos $X_1,X_2,X_3,\ldots$ son variables aleatorias independientes, cada uno, distribuidos uniformemente en el intervalo de $[0,1].$ a Continuación, para cada valor de $n$ tenemos $\operatorname{E}(X_n^2) = 1/3.$ a Los débiles ley de los grandes números dice $$ \operatorname*{l.yo.p.}_{n\to\infty} \frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2} n = \frac 1 3 $$ donde $\operatorname{l.i.p.}$ significa "límite de la probabilidad", y que se define diciendo $$ \text{para todo } \varepsilon>0\ \lim_{n\to\infty} \Pr\left( \left| \frac{X_1^2+\cdots + X_n^2} n - \frac 1 3 \right| < \varepsilon \right) = 1. $$ Del mismo modo $$ \operatorname*{l.yo.p.}_{n\to\infty} \frac{X_1+\cdots + X_n} n = \frac 1 2. $$ En general, $\Pr(A\cap B) \ge \Pr(A) + \Pr(B) - 1.$, con Lo que \begin{align} & \Pr\left( \left| \frac{X_1^2+\cdots + X_n^2} n - \frac 1 3 \right| < \varepsilon \text{ and } \left| \frac{X_1+\cdots + X_n} n - \frac 1 2 \right| < \varepsilon \right) \\[10pt] \ge {} & \Pr\left( \left| \frac{X_1^2+\cdots + X_n^2} n - \frac 2 3 \right| < \varepsilon\right) + \Pr\left( \left| \frac{X_1+\cdots + X_n} n - \frac 1 2 \right| \right) - 1. \end{align} Lo siguiente que necesita para decir que si un número es cerca de $1/3$ y otro cerca de $1/2$, entonces el cociente es cerca de $2/3.$

Este boceto de un argumento deja un montón de detalles para ser rellenado.