La construcción de un polinomio

Question

Deje $ m \in \mathbb{N}$ ser fijas y $q=p^n$ (una variable de potencia principal) por $n \in \mathbb{N}$ $p$ prime. Definimos $$c_m=|\left\lbrace f \in \mathbb{F}_q[X]; f \ \text{irreducible, monic, deg}(f)=m \right\rbrace|. $$

Yo quiero probar las siguientes afirmaciones:

(A) $q$ relativamente primos a $m$ $\Longrightarrow$ $q \mid c_m$

(B) $\exists$ un monic polinomio $C_m \in \mathbb{Z}[X]$$\text{deg}(C_m)=m$, de modo que $c_m=\frac{C_m(q)}{m}$ todos los $q$.

Answer 1

Sugerencias:

R: podemos dejar que el grupo aditivo de el campo de $\Bbb{F}_q$ actúan en el conjunto de monic polinomios irreducibles de grado $m$ como sigue. Deje $f(x)$, un monic irreducible de grado $m$, e $\alpha\in\Bbb{F}_q$ ser arbitraria. Entonces demostrar que $f(x+\alpha)$ es también un monic irreductible, y que de esta forma se define un grupo de acción. El resultado de todo esto es para demostrar que si una irreductible monic tiene un no-trivial, estabilizador, entonces necesariamente $\gcd(m,q)\ge p$. Aquí usted puede utilizar el hecho de que todos los elementos del campo tienen aditivos orden de $p$.

B: parece que ya está resuelto.