¿Ayuda con la probabilidad condicional?

Question

Tengo que demostrarlo:

$$\mathbb{P} (A | A \cap B) = \frac{ \mathbb{P}(A)}{ \mathbb{P} (A \cap B)}$$

No estoy seguro de cómo llegar a esto.

¿Seguro que la probabilidad de que ocurra A dado A y ocurra B es 1?

O, por la ecuación...

$$\mathbb{P} (A | A \cap B) = \frac{ \mathbb{P} (A \cap A \cap B)}{\mathbb{P} (A \cap B)}$$

Gracias por su ayuda

Answer 1

A menos que me esté perdiendo algo, tienes toda la razón, y la pregunta es incorrecta.

$$\mathbb P(A|A\cap B) \equiv \frac{\mathbb P(A\cap (A\cap B))}{\mathbb P(A\cap B)} = \frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(A\cap B)} = 1$$

Answer 2

Otra explicación es que las erratas en cuestión son que $\cup$ fue sustituido por $\cap$ (o un u en \cup se cambió por un a dar \cap porque ciertamente cierto que $$P(A \mid A\cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{P(A)}{P(A \cup B)}.$$

Answer 3

Creo, que debe ser un errata . También es muy posible que $\Bbb P(A)>\Bbb P(A\cap B)$ por lo que el lado derecho es $>1$ .

La ecuación similar que tenemos es $$\Bbb P(A\cap B\mid A)=\frac{\Bbb P(A\cap B)}{\Bbb P(A)}\,.$$

Probablemente el autor hizo una nota de corrección a este ejercicio para ' intercambiar los términos ', pero más tarde, cuando ejecutó estas notas, intercambió los términos en las fracciones..