De variación continua homeomorphisms en un espacio homogéneo

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico, y dotar a sus homeomorphism grupo $\text{Homeo}(X)$ con el compacto-abierta de la topología. Probablemente necesite restringir $X$ a ser localmente compacto para que juegue con $\text{Homeo}(X)$ muy bien.

La definición habitual de $X$ ser homogénea, es que dado $x,y \in X$ existe $f \in \text{Homeo(X)}$$f(x) = y$. Mi pregunta: ¿puede esta elección de $f$ se realizan continuos? Más precisamente, hay una clase natural de espacios homogéneos para el que siempre hay un mapa continuo $$\theta: \{(x,y): x \neq y\} \rightarrow \text{Homeo}(X)$$ tal que $\theta(x,y)$ porta $x$$y$. Es cierto para la conexión de los colectores?

Answer 1

Uno de tales natural de las clases son de grupos topológicos $G=X$ $\theta(x,y)(t)=yx^{-1}(t)$ por cada $t\in G$. En efecto, es claro que $\theta(x,y)(x)=y$ por cada $x,y\in G$. Para demostrar la continuidad de la mapa de $\theta: G\times G\to \operatorname{Homeo}(X)$ lo considera una subbase $\mathcal B$ del espacio $\operatorname{Homeo}(X)$ consta de conjuntos de $[K,O]=\{f\in\operatorname{Homeo}(X): f(K)\subset O,$ $K$ es un subconjunto compacto de $G$ $O$ es un subconjunto abierto de $G \}$. Esto es suficiente para mostrar que $\theta^{-1}(B)$ está abierto para todas las $[K,U]\in\mathcal B$. Deje $\theta(x,y)\in [K,O]$$yx^{-1}K\subset O$. La continuidad de las operaciones de topológico grupo implica que para cada una de las $t\in K$ existe abierto barrios $U_t$, $V_t$, y $W_t$ de los puntos $y$, $x$, y $t$, respectivamente, tal que $U_t^{-1}V_tW_t\subset O$. Una familia $\{W_t:t\in K\}$ es una cubierta abierta de la set $K$. Desde el set $K$ es compacto, existe un subconjunto finito $F$ $K$ tal que $K\subset \{W_t:t\in F\}$. Poner $U=\bigcap \{U_t:t\in F\}$ $V=\bigcap \{V_t:t\in F\}$ . A continuación,$U^{-1}VK\subset O$, lo $\theta(U,V)\in [K,O]$.

Answer 2

Usted está solicitando a la siguiente: Pick $x\in X$ $G=Homeo(X)$ considera la órbita mapa $o_x: G\to X$, $o_x(g)=g(x)$. Suponiendo que $o_x$ es surjective, cuando se tiene un (continua) de la sección $s: X\to G$?

Una observación general es que si $X$ no contráctiles, a continuación, la sección no $s: X\to G$ es homotópica a una constante mapa.

Aquí es lo que ocurre en el caso de $X$ es un circuito cerrado conectado orientado de 2 dimensiones múltiples.

1. Si $\chi(X)=0$, $X\cong S^1\times S^1$ y, por lo tanto, es homeomórficos a una Mentira grupo y, por lo tanto, $o_x$ tiene una sección.

2. Si $\chi(X)=2$, $G=Homeo(X)$ es homotopy-equivalente a $O(3)$, por lo tanto, $\pi_2(G)=0$. Sin embargo, si hay una sección de $s: X\to G$,$\pi_2(G)\ne 0$, lo que demuestra que una sección no existe.

3. Si $\chi(X)<0$ $G$ es homotopy equivalente a ${\mathbb Z}$ (la identidad de los componentes de $G$ es contráctiles). Por lo tanto, usted no puede tener una sección de $s: X\to G$.

Sospecho que al $X$ $n$- dimensiones de la esfera, a continuación, una sección de $s: X\to G$ existe si y sólo si $n=1, 3, 7$, es decir, cuando se $S^n$ tiene la estructura de una Mentira grupo.

Ver

M.-E. Hamstorm, Homotopy grupos de la espacio de homeomorphisms en una 2-variedad, Illinois J. Math. Volumen 10, Número 4 (1966), 563-573

para los detalles relativos a la homotopy tipos de la homeomorphism grupos de superficies compactas. (La misma conclusión se aplica cuando se trabaja con los grupos de diffeomorphisms, resp. PL homeomorphisms: Earle y Eells, 1966; resp. Scott, 1970.)

Edit: me acabo de dar cuenta de que, por alguna razón, usted está interesado en la existencia de una sección en la que es continua a distancia de un punto (no estoy seguro de por qué, aunque). Esto cambia la respuesta. Es decir, para $X=S^2$ (o la esfera de cualquier dimensión de este asunto), el mapa de $\Theta$ existe, es una rotación en el plano que pasa a través de $x, y$. Por otro lado, si $\chi(X)<0$ el mapa de $\Theta$ todavía no existe desde $X-\{x\}$ no contráctiles y el argumento en el caso 3 se aplica todavía.