Agradecería si alguien me podría ayudar con el siguiente problema:
P: mostrar que
Si $a,b$ satisfacer la ecuación $$a^3+4a=b^2(a,b\in\mathbb{N})$$ then there exist $M\in\mathbb{N}$ s.t $a=2M^2$
Respuesta
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Deje $d = \gcd(a,b)$. Por lo $a = xd$, e $b = yd$. Por lo tanto: $x^3d^3 + 4xd = y^2d^2$. Por lo $d^2x^3 + 4x = dy^2$. Esto nos da: $x$ divide $dy^2$. Pero $\gcd(x,y) = 1$$\gcd(x,y^2) = 1$. Por lo tanto $x$ divide $d$. Por lo $d = kx$. Así: $k^2x^5 + 4x = kxy^2$. Por lo tanto: $k^2x^4 + 4 = ky^2$. Por lo tanto: $4 = k(y^2 - kx^4)$. Esto significa $k$ divide $4$. Por lo $k = 1, 2, 4$.
Caso 1: $k = 1$. Así: $4 = y^2 - x^4 = (y - x^2)(y + x^2)$. Por lo $y - x^2 = 1, y + x^2 = 4$. Por lo $2y = 5$. Esto no puede suceder desde $y$ tiene que ser un número entero.
Caso 2: $k = 2$. Así: $2 = y^2 - 2x^4$. Por lo $y^2 = 2(x^4 + 1)$. Por lo $x^4 + 1 = 2m^2$. Observe que esta ecuación tiene solución inicial: $x = 1 = m$ y tendrá una infinidad de soluciones.
Caso 3: $k = 4$. Así: $1 = y^2 - 4x^4 = (y - 2x^2)(y + 2x^2)$. Esto no puede suceder. Por lo tanto tenemos: $k = 2$ es la única solución aceptable y esto significa: $a = 2x^2 = 2M^2$$M = x$. Hecho.
