Reclamaciones en Pinchover del libro de texto de la prueba del teorema de existencia y unicidad para ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Question

La referencia aquí es Pinchover & Rubinstein es Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales, páginas 36-37. Se trata de la existencia y unicidad de una solución a la ecuación de $a(x,y,u)u_x + b(x,y,u)u_y = c(x,y,u)$ con condición inicial (curva en la integral de superficie) $x(0,s)=x_0 (s), y(0,s)=y_0(s), u(0,s)=u_0(s)$.

Esto implica la construcción de una superficie, mediante la resolución de una familia de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (cuyas soluciones $x(t,s), y(t,s), u(t,s)$) son curvas sobre la superficie deseada y por lo tanto "tejer juntos"). Afirman que "la condición de transversalidad ($x_t(0,s)y_s(0,s)-y_t(0,s)x_s(0,s)\neq 0$) implica que la representación paramétrica proporciona una superficie suave". ¿Por qué es suficiente para comprobar esto a lo largo de la curvatura inicial?

A continuación, se compruebe que la superficie de este satisface el PDE. En van: "para mostrar que no hay más integral de las superficies, podemos demostrar que las curvas características hemos construido, debe recaer en una integral de superficie". No sé lo que esto significa, porque pensé que eso era precisamente lo que acababa de hacer.

Más probable es que sólo estoy completamente desorientado y su escritura no tiene la culpa.

Agradezco cualquier comentario que me ilumine en la comprensión de esta prueba.

Answer 1

Usted puede utilizar el teorema de la función inversa de la siguiente manera. Tome un parámetro extra, $r$ dicen y mapa de $(t,s,r)$$(x(t,s), y(t,s), z(t,s)+r)$. El Jacobiano es ${\rm det}\begin{bmatrix}x_t & x_s & 0 \cr y_t & y_s & 0 \cr z_t & z_s & 1\end{bmatrix}$, lo que ha supuesto distinto de cero por la elección de un noncharacteristic inicial de la curva, en $(t,s,r)=(0,s_0,0)$, para cada una de las $s_0$ dentro del dominio de la inicial de la curva. Por el teorema de la función inversa, hay un diffeomorphism entre un barrio de $(0,s_0,0)$ y un barrio de $(x(0,s_0),y(0,s_0),z(0,s_0))$. En particular, esta diffeomorphism lleva un pedazo de la $(t,s,0)$ plano sobre un pedazo de superficie lisa. El teorema es local, por lo que la pieza puede ser pequeño, y usted tiene una solución $u$ en un barrio de $(x_0(s_0),y_0(s_0),u_0(s_0))$.