Demostrar que lo siguiente es falso: $f(x)=2x+1$ produce un número primo si y sólo si x es primo

Question

$f(x)=2x+1$ produce un número primo si y sólo si x es primo, ¿cómo podemos demostrar que esto es falso?

Sé que esto no es muy matemático, pero ¿no podemos simplemente introducir un número que sabemos que es primo, es decir. $x=7$ y observe $f(7)=15$ ¿que no es primo?

Estoy interesado en escribir una prueba matemática para esto, pero no estoy muy seguro de si mi "prueba" es lo suficientemente buena/propia. ¿Cómo debería hacerlo?

Answer 1

Para demostrar que una afirmación es falsa, basta con presentar un contraejemplo. Su contraejemplo $x=7$ demuestra que (una dirección de implicación de) la proposición no es cierta para certains $x$ y, por tanto, nunca puede ser cierto para cada $x$ . Así que sí, tu prueba es perfectamente "a prueba de matemáticas".

Answer 2

Su contraejemplo demuestra que $2x+1$ no necesita ser primo si $x$ es primo. Esa es la parte del "si", y tu contraejemplo la contradice, y por tanto toda la afirmación.

También puede tener en cuenta que $2\cdot 6 +1=13$ es un contraejemplo a la parte "sólo si" - en que $f(x)$ puede ser primo aunque $x$ no lo es.

Answer 3

Sea $\mathbb{P}$ denota el conjunto de los números primos.

Necesitamos demostrar la afirmación lógica $A$ :

$\neg\forall{x\in\mathbb{N}}:{2x+1}\in\mathbb{P}\iff{x}\in\mathbb{P}$

O la afirmación lógica equivalente $B$ :

$\neg\forall{x\in\mathbb{N}}:({2x+1}\in\mathbb{P}\implies{x}\in\mathbb{P})\wedge({x}\in\mathbb{P}\implies{2x+1}\in\mathbb{P})$

O la afirmación lógica equivalente $C$ :

$\exists{x\in\mathbb{N}}:\neg({2x+1}\in\mathbb{P}\implies{x}\in\mathbb{P})\vee\neg({x}\in\mathbb{P}\implies{2x+1}\in\mathbb{P})$

O la afirmación lógica equivalente $D$ :

$\exists{x\in\mathbb{N}}:\neg[({2x+1}\not\in\mathbb{P})\vee({x}\in\mathbb{P})]\vee\neg[({x}\not\in\mathbb{P})\vee({2x+1}\in\mathbb{P})]$

O la afirmación lógica equivalente $E$ :

$\exists{x\in\mathbb{N}}:[({2x+1}\in\mathbb{P})\wedge({x}\not\in\mathbb{P})]\vee[({x}\in\mathbb{P})\wedge({2x+1}\not\in\mathbb{P})]$

Por último, para demostrar $\exists{x}$ sólo tenemos que encontrar el valor de $x$ :

$x=6\implies(2x+1\in\mathbb{P})\wedge(x\not\in\mathbb{P})\implies{E}\iff{D}\iff{C}\iff{B}\iff{A}$