Regla de la cadena para funciones de varias variables

Question

Por lo que he estado estudiando la multi-variable regla de la cadena. Lo que es más importante, y esto es lo que debe haber pasado por alto, es que no siempre está claro para mí cómo ver las variables que están en función de otras variables, de modo que usted sepa cuándo utilizar la regla de la cadena. Por ejemplo, si usted tiene:
$$ x^2+y^2-z^2+2xy=1 $$ $$ x^3+y^3-5y=8 $$

En general, decir que queremos encontrar a $\frac{dz}{dt}$ pero $z$ es una función de $x$, entonces tenemos:
$$ \frac{dz}{dt} = \frac{dz}{dx} \frac{dx}{dt} .$$

Y si $z$ es una función tanto de $y$$t$, obtenemos:
$$ \frac{dz}{dt} = \frac{dz}{dx} \frac{dx}{dt} + \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dt}$$

En este caso, tenemos dos ecuaciones. Uno relacionado con las tres variables $x,y,z$ y uno que involucran a $x,y$. Decir que queremos encontrar a $\frac{dz}{dx}$. ¿Qué significa esto para este caso? ¿Cómo debemos interpretar esta norma en general?

Answer 1

Lo que usted quiere ver es la regla de la cadena para varios valores de las funciones. Lo que sigue a continuación trata del segundo ejemplo, donde $z$ es una función de $x$$y$.

Supongamos $z:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ $\boldsymbol{T} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ son dos funciones diferenciables. A continuación, $z\circ \boldsymbol{T} : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ y es diferenciable, entonces nos preguntamos ¿qué es $\frac {d(z(\boldsymbol{T}(t)))}{dt}$? Resulta que en $t=t_0$ hemos $$\frac {d(z(\boldsymbol{T}(t)))}{dt} = \nabla z(\boldsymbol{T}(t_0))\cdot \boldsymbol{T}^'(t_0) $$ Where $\nabla$ is the gradient and the $\cdot$ se refiere al producto escalar entre vectores.

Espero que ayude,

Answer 2

Usted tiene

$\displaystyle x^2+y^2-z^2+2y=1$

$\displaystyle x^3+y^3-5y=8$

Usted puede tomar la derivada de cada una con respecto a la $x$ para obtener

$\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}-2z\frac{dz}{dx}+2\frac{dy}{dx}=0$

$\displaystyle 3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}-5\frac{dy}{dx}=0$

La segunda nos da $\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2}{3y^2-5}$ que se puede sustituir en la primera a encontrar $\frac{dz}{dx}$

Respuesta a la edición de la pregunta: La nueva primera ecuación: $\displaystyle x^2+y^2-z^2+2xy=1$ cuando tomamos la derivada de x da $\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}-2z\frac{dz}{dx}+2x\frac{dy}{dx}+2y=0$, que todavía puede ser resuelto por dz/dx dada la dy/dx de la segunda ecuación.