Evaluación de la "concentración de la función de la medida" a cero.

Question

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico equipado con una probabilidad de medida $\mu$ (definido en el Borel $\sigma$-álgebra en la topología inducida por la métrica $d$). Definimos la concentración de la función de la triple $X,d$ $\mu$ como sigue:

$\alpha_{(X,d,\mu)}(r)=\sup\{1-\mu(A_r):A\subset X\text{ is measurable and }\mu(A)\geq 1/2\}$, $r\geq0$,

donde definimos $A_r=\{x\in X:d(x,A)<r\}$ (EDIT: me adoptar la convención de $A_0=A$).

Estoy interesado en el valor de la siguiente (sustitución de la primaria detalles que conduce a la igualdad de abajo):

$\alpha_{(X,d,\mu)}(0)=\sup\{\mu(B):B\subset X\text{ is measurable and }\mu(B)\leq 1/2\}$

Si existe un conjunto medible $A\subset X$ tal que $\mu(A)=1/2$, entonces es claramente el caso de que $\alpha_{(X,d,\mu)}(0)=1/2$. Si no hay ningún conjunto con medida $1/2$, entonces la situación no es tan clara. Fácilmente puedo encontrar ejemplos en los que no hay ningún conjunto de medida $1/2$ $\alpha_{(X,d,\mu)}(0)$ no $1/2$ (Dirac probabilidad de medida viene a la mente), pero soy incapaz de demostrar (por encontrar un ejemplo idealmente) o refutar que existe una medida de probabilidad en algunos métrica del espacio que no tiene una medida de $1/2$ pero $\alpha_{(X,d,\mu)}(0)=1/2$.

Answer 1

Resulta que la imagen de cualquier medida finito es cerrada (ver aquí), lo que implica que $1/2$ (o cualquier otro % constante $\alpha\in[0,1]$para esa materia) no puede ser un punto límite de la imagen de $\mu$ sin ser ella misma en la imagen de $\mu$.

Answer 2

Basado en su aclaración, creo que la pregunta es equivalente a decir lo siguiente:

Es posible tener una secuencia de conjuntos cuya medida tiende hacia arriba a $\frac{1}{2}$, sin que exista un conjunto que medida es $\frac{1}{2}$?

Claramente, si los conjuntos son anidadas, esto no es posible, no sólo en un Borel $\sigma$ álgebra generada por una métrica, pero en cualquier medir el espacio.

Si no disponemos de una medida de probabilidad, podemos tomar una secuencia de desconectado puntos cuya medida tiende hacia arriba a $\frac{1}{2}$. Si todos ellos tienen medida por encima de $\frac{1}{4}$, entonces no se podría establecer que se ha de medir exactamente $\frac{1}{2}$.

Ahora, tal vez se puede considerar una situación similar, y tratan de mostrar que una secuencia de desconectado puntos cuya medida es 1, donde hay subconjuntos finitos cuya medida tiende hacia arriba, hacia $\frac{1}{2}$, debe tener un subconjunto de medida $\frac{1}{2}$.

Este es un hecho acerca de las cantidades de una secuencia de números reales, en lugar de hablar de teoría de la medida. Yo no creo que sea a través de todavía bastante, por lo que podría ser trivial o no-trivial (o falso).

Pero si usted puede demostrar que debe haber un conjunto de medida $\frac{1}{2}$ para la secuencia de desconectado puntos, esto podría implicar el caso general. Después de volver si te las arreglas para llevar a cualquier de los de arriba, de lo contrario voy a dejar que usted sabe algo más de lo que yo piense.