Asumimos $f$ es integrable, por lo tanto, limitado en el compacto rectángulo $R \subset \Bbb R^2$.
Si $I$ es la integral, entonces para cualquier $\epsilon > 0 $, no es una partición de a $P_\epsilon$ tal que $U(f,P_\epsilon) < I + \epsilon/4$. (La integral es el infimum de la parte superior de sumas).
Una partición puede ser caracterizado como la colección de vértices $(x_i,y_j)$ que no la superposición de sub-rectángulos $[x_{i-1},x_i] \times [y_{j-1},y_j]$ cubriendo R:
$$P_{\epsilon} = \{(x_i,y_j): 0 \leq i \leq M, 0 \leq j \leq N, R = \cup_{i = 1}^M \cup_{j = 1}^N[x_{i-1},x_i] \times [y_{j-1},y_j]\}.$$
Vamos
$$\delta = \frac{\epsilon}{4MNDd(R)}$$
donde $D = \sup\{|f(x)-f(y)|:x,y \in R \}$ indica la longitud máxima de $f$, $MN$ es el número de sub-rectángulos de la partición de $P_\epsilon$, e $d(R)$ es el diámetro de $R$.
Ahora vamos a $P$ ser cualquier partición con $d(P)<\delta$.
Forma común de refinamiento $Q$ $P$ $P_{\epsilon}.$ Cada sub-rectángulo de $P$ $P_{\epsilon}$ es una unión finita de sub-rectángulos de $Q$. La parte superior e inferior de sumas de una partición de soporte de las sumas de un refinado partición:
$$L(f,P_{\epsilon}) \leqslant L(f,Q) \leqslant U(f,Q) \leqslant U(f,P_{\epsilon}), \\ L(f,P) \leqslant L(f,Q) \leqslant U(f,Q) \leqslant U(f,P). $$
Cada sub-rectángulo $R_{ij}$ $P$ es de la forma
$$R_{ij} = [x_{i-1}^P,x_i^P] \times [y_{j-1}^P,y_j^P]$$
y puede descomponerse como una unión de sub-rectángulos $R_{ijkl} \subset R_{ij}$$Q$:
$$R_{ij} = \bigcup_{k=1}^{m_{ij}} \bigcup_{l=1}^{n_{ij}} R_{ijkl}.$$
La parte superior sumas $U(f,P)$ $U(f,Q)$
$$U(f,P) = \sum_{i,j} \sup_{x \in R_ij} f(x) vol(R_ij), \\ U(f,Q) = \sum_{i,j}\sum_{k,l} \sup_{x \in R_{ijkl}} f(x) vol(R_{ijkl}).$$
Como $R_{ijkl} \subset R_{ij}$, tenemos
$$\sup_{x \in R_{ij}}f(x)-\sup_{x \in R_{ijkl}}f(x) \leqslant D.$$
Por lo tanto,
$$U(f,P) - U(f,Q) \leqslant \sum_{i,j}\sum_{k,l} [\sup_{x \in R_{ij}}f(x)-\sup_{x \in R_{ijkl}}f(x) ]vol(R_{ijkl}) \leqslant D\sum_{i,j}\sum_{k,l} vol(R_{ijkl}). $$
Cada sub-rectángulo $R_{ijkl}$ $Q$ es de la forma
$$R_{ijkl} = [x_{k-1}^{(i)},x_k^{(i)}] \times [y_{l-1}^{(j)},y_l^{(j)}], \\ vol(R_{ijkl}) = (x_{k}^{(i)}-x_{k-1}^{(i)})(y_{l}^{(j)}-y_{l-1}^{(j)}). $$
Formamos el común de refinamiento $Q$ $P$ $P_{\epsilon}$ ($MN$ sub-rectángulos). La partición de $Q$ no tiene más de $MN$ más de partición de los puntos de $P,$ en ninguna de las dimensiones.
Por lo tanto,
$$U(f,P) - U(f,Q) \leqslant D\sum_{i,j}\sum_{k,l} vol(R_{ijkl}) \\ = D\sum_{i}\sum_{j} \sum_{k} \sum_{l }(x_{k}^{(i)}-x_{k-1}^{(i)}) (y_{l}^{(j)}-y_{l-1}^{(j)}) \\ =D\sum_{i}\sum_{k} (x_{k}^{(i)}-x_{k-1}^{(i)}) \sum_{j} \sum_{l } (y_{l}^{(j)}-y_{l-1}^{(j)}) \\ \leqslant D\sum_{i}\sum_{k} (x_{k}^{(i)}-x_{k-1}^{(i)}) d(R) \\ \leqslant D(MN \delta) d(R).$$
Sustituyendo $\delta$ encontramos
$$U(f,P) - U(f,Q) \leqslant MND d(R)\delta= \epsilon/4.$$
De ello se sigue que
$$U(f,P) \leqslant U(f,Q) + \epsilon/4 \\ < U(f,P_\epsilon)+\epsilon/4 \\ < I + \epsilon/2.$$
Por un argumento similar, usted puede mostrar a $L(f,P)> I - \epsilon/2$.
Si $S(f,P)$ es cualquier suma de Riemann con respecto a la partición P, entonces
$$I - \epsilon/2 < L(f,P) \leqslant S(f,P) \leqslant U(f,P) < I + \epsilon/2,$$
y
$$|S(f,P) - I| < \epsilon.$$
