¿Conjunto cerrado implica conjunto no abierto?

Question

Dado $X$ un espacio métrico y $E$ es un subconjunto estricto de $X$ que no está vacío y está cerrado en $X$ ¿es cierto que $E$ no está abierto?

Mi opinión es que no, considerando que puedo formar el espacio métrico $X=(-1,1) \cup 2$ y luego $E = (-1,1)$ . Cada punto límite de $E$ en $X$ es un punto de $E$ haciendo $E$ cerrado en $X$ Sin embargo, cada punto de $E$ es claramente un punto interior también, por lo que $E$ está abierto en $X$ .

¿Alguien tiene más información sobre esto?

Gracias por adelantado

Answer 1

Los conjuntos que son a la vez cerrados y abiertos en un espacio topológico se llaman clopen y en el enlace se dan varios ejemplos.

Answer 2

Depende del espacio métrico $X$ .

Ejemplo 1 $X$ es $\mathbb R$ con la topología habitual. $E=[0,1]\subset X$ entonces $E$ no está abierto.

Ejemplo 2 $X$ es un espacio discreto. Siempre es un espacio métrico. Todo conjunto $E \subset X$ está abierto y cerrado.

Answer 3

Considere $\mathbb{R}\setminus{\{1,-1\}}$ , $E:=(-1,1)$ es tanto abierto como cerrado en él