Interesante integral definida que involucra exp y trig

Question

Estoy tratando de evaluar las siguientes integrales:

$$\int_0^{2\pi} e^{\kappa \cos(\phi - \mu)} \cos(\phi) d\phi$$ $$\int_0^{2\pi} e^{\kappa \cos(\phi - \mu)} \sin(\phi) d\phi$$

para el que quiero encontrar una función fácilmente computable. Esta puede ser una forma cerrada, o algo en términos de funciones especiales que están disponibles en la mayoría de las bibliotecas de computación científica (por ejemplo scipy.special ).

He encontrado el siguiente resultado en wikipedia que puede ser útil. $$\int_0^{2\pi} e^{x \cos(\theta)} d\theta = 2\pi I_0(x),$$ donde $I_0(x)$ es la modificación de Función de Bessel del primer tipo, de orden 0.

Quiero disculparme de antemano si esta es una pregunta básica; no he tenido formación formal en cálculo avanzado (más allá de la escuela secundaria), excepto por algunas conferencias en línea y la lectura de wikipedia.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Considere $$f(x):=\int_0^{2\pi} e^{x \cos(\phi)}\;d\phi=2\pi I_0(x)$$
desde $I'_0(x)=I_1(x)$ y utilizando la derivación bajo el signo integral esto se convierte en : $$f'(x)=\int_0^{2\pi} e^{x \cos(\phi)}\;\cos(\phi) \;d\phi=2\pi I'_0(x)=2\pi I_1(x)$$

Reescribamos su primera integral (utilizando la sustitución $\theta:=\phi - \mu$ ) : \begin{align} I_c:&=\int_{-\mu}^{2\pi-\mu} e^{\kappa \cos(\theta)} \cos(\theta+\mu)\;d\theta\\ &=\int_0^{2\pi} e^{\kappa \cos(\theta)} \cos(\theta+\mu)\;d\theta\\ &=\cos(\mu)\int_0^{2\pi} e^{\kappa \cos(\theta)} \cos(\theta)\;d\theta-\sin(\mu)\int_0^{2\pi} e^{\kappa \cos(\theta)} \sin(\theta)\;d\theta\\ &=2\pi\cos(\mu)I_1(\kappa)+\sin(\mu)\int_0^{2\pi} e^{\kappa \cos(\theta)} \;d\cos(\theta)\\ &=2\pi\cos(\mu)I_1(\kappa)+\sin(\mu)\frac{e^{\kappa\cos(2\pi)}-e^{\kappa\cos(0)}}{\kappa}\\ I_c&=2\pi\cos(\mu)\;I_1(\kappa) \end{align}

De la misma manera obtuve la segunda integral como :

$\qquad\qquad\qquad I_s=2\pi\sin(\mu)\;I_1(\kappa)$

Para las propiedades interesantes y la reescritura de la función de Bessel modificada $I_1$ ver las excelentes referencias disponibles :

• Abramowitz & Stegun (con una imagen de $I_1$ y aproximaciones numéricas página $378$ )
• DLMF (una especie de sucesor en línea de A & S)
• Funciones Wolfram (base de datos de información muy amplia).