La forma cerrada por una serie infinita de funciones de Bessel

Question

Me han llegado a través de una serie infinita que involucran funciones de Bessel donde la suma es sobre el argumento dentro de la función de Bessel (en lugar de sobre el índice de la función de Bessel, que parece ser el caso por lo general estudiado).

En concreto me estoy preguntando si una forma cerrada es conocido por $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_k(nz)}{n^k}.$$ Here, $k$ is an integer and $J_k$ es la función de Bessel de primera especie.

Answer 1

Yo uso el contorno de integración para confirmar que, efectivamente, $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_{1}(n)}{n} = \frac{3}{4}.$$

Voy a utilizar el hecho de que $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{J_{1}(x)}{x} \, dx = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{J_{1}(x)}{x} \, dx = 2.$$

(Se puede utilizar Ramanujan maestro del teorema para encontrar la transformada de Mellin $J_{1}(x)$. Ver AQUÍ, por ejemplo).

Vamos a integrar a la función $$f(z) = \frac{\pi J_{1}(z) \cot(\pi z)}{z}$$ counterclockwise around a square contour with vertices at $ \pm \left(N+ \frac{1}{2}\right) \pm iy$, where $N$ is a positive integer and $y >0$.

Al hacerlo, obtenemos $$\small \int_{-N - 1/2}^{N+1/2} \frac{\pi J_{1}(t-iy)\cot\left(\pi(t-iy)\right)}{t-iy} \, dt + \int_{-y}^{y} \frac{\pi J_{1} \left(N+ \frac{1}{2}+it \right)\cot \left(\pi (N+ \frac{1}{2}+it) \right)}{N+ \frac{1}{2}+it} \, i \, dt$$

$$ \small + \int_{N + 1/2}^{-N-1/2} \frac{\pi J_{1}(t+iy)\cot\left(\pi(t+iy)\right)}{t+iy} \, dt + \int_{y}^{-y} \frac{\pi J_{1} \left(-N- \frac{1}{2}+it \right)\cot \left(\pi (-N-\frac{1}{2}+it) \right)}{-N- \frac{1}{2}+it} \, i \, dt$$

$$ \small = 2 \pi i \sum_{k=-N}^{N} \operatorname{Res}[f(z), k].$$

Si dejamos $N$ ir hasta el infinito a través de los enteros positivos, el segundo y el cuarto integrales desaparecerán, ya que, entre otras cosas, la magnitud de $J_{1}\left(N+ \frac{1}{2} + it\right)$ $J_{1}\left(- N- \frac{1}{2}+it\right) $ se quedará delimitada si $t$ sigue siendo limitada. (Esto se deduce del comportamiento asintótico de las $J_{1}(z)$ grandes $z$.)

Así que nos quedamos con $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\pi J_{1}(t-iy)\cot\left(\pi(t-iy)\right)}{t-iy} \, dt -\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\pi J_{1}(t+iy)\cot\left(\pi(t+iy)\right)}{t+iy} \, dt $$

$$ = 2 \pi i \sum_{k=-\infty}^{\infty}\operatorname{Res}[f(z), k] = 2 \pi i \left(2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{J_{1}(k)}{k} + \operatorname{Res}[f(z), 0]\right)$$

$$ = 2 \pi i \left(2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{J_{1}(k)}{k} + \frac{1}{2} \right).$$

Ahora podemos dejar $y \to \infty$ y utilice el hecho de que $\cot(z) \to \mp i$ uniformemente $\operatorname{Im}(z) \to \pm \infty$ a la conclusión de que la $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{J_{1}(k)}{k} = \frac{1}{4} \lim_{y \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{J_{1}(t-iy)}{t+iy} \, dt +\frac{1}{4} \lim_{y \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{J_{1}(t+iy)}{t+iy} \, dt - \frac{1}{4}. $$

El último paso es argumentar que $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{J_{1}(t+iy)}{t+iy} \, dt = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{J_{1}(t-iy)}{t-iy} \, dt = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{J_{1}(x)}{x} \, dx =2 $$ regardless of the value of $y$.

Se puede demostrar esto mediante la integración de $\frac{J_{1}(z)}{z}$ alrededor de los contornos rectangulares en la parte superior e inferior de la mitad de los aviones, y luego dejar que el ancho de los rectángulos ir a $\infty$.

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Un enfoque similar se muestra que el $$\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{J_{2}(n)}{n^{2}} &= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{J_{2}(x)}{x^{2}} \, dx - \frac{1}{2} \, \operatorname{Res}\left[\frac{\pi J_{2}(z) \cot(\pi z)}{z^{2}},0 \right] \\ &= \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3} \right) - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{8} \right) \\ &= \frac{13}{48}. \end{align}.$$