Dos expresiones para topológico instanton número

Question

He comenzado a estudiar instantons y tengo la siguiente dificultad:

$\newcommand{tr}{\operatorname{Tr}}$

Estoy considerando la teoría de la con $SU(2)$ grupo gauge: $S=\frac{1}{2g^{2}}\int \tr F_{\mu\nu}^{2} $.

He obtenido la siguiente expresión para el número topológico $Q$ como un grado de asignación de $S^{3}\longrightarrow S^{3}$ (basado en el diferencial de volumen de la forma: $deg(f)=\int_{\Omega} f^{*}\omega$):

$$ Q=\frac{1}{24\pi^{2}}\int d\sigma_{\mu}\epsilon^{\mu\nu\lambda\rho}\tr\left(\omega\partial_{\nu}\omega^{-1}\cdot\omega\partial_{\lambda}\omega^{-1}\cdot\omega\partial_{\rho}\omega^{-1}\right)\tag{1} $$ Aquí me integrar sobre la esfera de $S^{3}$.

Ahora quiero mostrar que esta expresión es igual a la siguiente: $$ Q=-\frac{1}{16\pi^{2}}\int d^{4}x \tr\left(F_{\mu\nu}{F_{\mu\nu}^{*}}\right)\etiqueta{2} $$

La primera ecuación que resultó ser estrictamente, pero para el segundo no tengo ideas, excepto de Stoke teorema, pero yo no puedo hacerlo explícitamente.

Podría usted por favor me explique cómo obtener la segunda expresión de la primera?

Answer 1

Es el teorema de Stokes. Considere la posibilidad de un campo de $F = dA + A \wedge A$ tal que $A$ es puro calibre en el infinito, es decir, $\lim_{x\to\infty} A(x) = \omega\, d \omega^{-1}$ algunos $\omega : S^3 \to SU(2) \sim S^3$ donde $\omega$ es una función en la 3-esfera, porque el límite puede depender de la dirección a infinito.

En formas diferenciales de la primera expresión es $\newcommand{tr}{\operatorname{tr}}\tr A \wedge A \wedge A.$, Ya que en el infinito, $F = dA + A \wedge A$ se desvanece, podemos agregar $0$ en forma de $-3\tr F \wedge A$ a esta expresión.¹

Tenemos $$d \tr (F\wedge A) = d \tr (dA \wedge A + A \wedge A \wedge A) = \tr dA \wedge dA + 3\tr dA \wedge A \wedge A. $$ Ahora aplicar el teorema de Stokes, donde consideramos que el infinito como una 3-esfera de delimitación espacio-tiempo. La última parte que sigue de la cíclico de la propiedad de la traza. Así obtenemos $$\int_{S^3} \tr A \wedge A \wedge A = \int_{S^3} \tr A\wedge A \wedge A - 3 F\wedge A = \int_M \tr \big[3 dA\wedge A \wedge A - 3 dA \wedge dA - 9 dA\wedge A\wedge A\big].$$ Excepto por el plazo $A^{\wedge 4} = A\wedge A \wedge A \wedge A$, estamos tomando el rastro de $-3 F\wedge F$. Pero $A^{\wedge 4}$ es traceless (uso cíclico de la propiedad de la traza). Por lo tanto $$\int_{S^3} A\wedge A \wedge A = -3 \int_M F\wedge F.$$

Ahora $F\wedge F = 2 F^{\mu\nu} F^*_{\mu\nu}$ porque $F^*_{\mu\nu}$ tensor se define generalmente con un $\frac{1}{2}$ factor, por lo que este establece la relativa $-\frac{3}{2}$ en las dos expresiones para $Q$.

---

¹ Esto parece sacado de la nada porque es. Lo añado porque yo sé lo que quiero conseguir. Por lo general, uno va en la dirección opuesta a la de partida con $F \wedge F = d(dA \wedge A + \frac{2}{3}A\wedge A \wedge A)$. El término que hemos añadido es la parte de este que se desvanece en el infinito. Poniéndola de nuevo es un poco menos natural.