Análisis complejo

Question

Mi problema es integrar esta expresión: %#% $ de #% donde $$\int_0^{2\pi}\log(1-2r\cos x +r^2)dx.$ es cualquier constante en $r$.

Sé que la respuesta es cero. ¿Puede explicarme usted idea o solo demostrar que? Tal vez utilizas el "teorema integral de Cauchy".

Answer 1

Edit: he probado un poco más. Es decir, esta integral es$0$$| r|\leq 1$, e $4\pi\log|r|$$|r|\geq 1$.

1) Si $r=0$, esto es $0$.

2) Ahora suponga $0< r\leq 1$. Tenemos $$ 1-2r\cos x+r^2=(1-re^{ix})(1-re^{ix})=|1-re^{ix}|^2. $$ Por tanto, la integral puede ser escrito $$ 2\int_0^{2\pi}\log |1-re^{ix}|dx=4\pi\cdot \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\log |1-re^{ix}|dx= \frac{2}{i}\int_{\gamma_r}\frac{\log|1-z|}{z}dz. $$

donde$\gamma_r(x)=re^{ix}$$[0,2\pi]$, es decir, $\gamma_r$ es el círculo de radio $r$ centrada en $0$.

Acceso directo: como se ha señalado por robjohn, $\log|1-z|=\mbox{Re}\;\log(1-z)$, por lo que podemos concluir de Cauchy de la integral de la fórmula. Yo voy a dejar mi armónica argumento a continuación.

Recordar que si $f$ es holomorphic, a continuación, $\log|f|$ es armónica en su dominio. Así $$g:z\longmapsto \log|1-z|$$ is harmonic on the open unit disk $D=\{z\in\mathbb{C}\;;\;|z|<1\}$.

Si $0<r<1$, luego el círculo $\gamma_r$ está contenido en $D$ y contiene $0$, por lo que $$ 0=g(0)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}g(re^{ix})dx=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\log |1-re^{ix}|dx $$ por el valor medio de la propiedad de la armónica de funciones.

3) Por $r=1$ ahora. Fix $x$ y el estudio de las variaciones de $r\longmapsto \log(1-2r\cos x+r^2)$$[0,1]$. Si $\cos x\leq 0$, esto es creciente y positivo, por lo $|\log(1-2r\cos x+r^2)|\leq \log(1-2\cos x+1)$. Y si $\cos x\geq 0$, es valor no positivo, con un mínimo en $r=\cos x$, lo $|\log(1-2r\cos x+r^2)|\leq| \log(1-2\cos^2 x+\cos^2 x)|=| \log(\sin^2 x)|$. En cualquier caso, vemos que el integrando es uniformemente acotado por una función integrable. De ello se sigue que $$ \int_0^{2\pi}\log(1-2\cos x+1)dx=\lim_{r\rightarrow 1^-} \int_0^{2\pi}\log(1-2r\cos x+r^2)dx=0 $$ por Lebesgue convergencia dominada.

Así que estas integrales se $0$ por cada $0\leq r\leq 1$.

4) Por cambio de variable y la periodicidad, obtenemos $0$$-1\leq r\leq 1$.

5) Finalmente, para $|r|>1$, obtenemos $$ \int_0^{2\pi}\log(1-2r\cos x+r^2)dx=\int_0^{2\pi}\log\left(r^2\left(\frac{1}{r^2}-2\frac{1}{r}\cos x+1\right)\right)dx $$ $$ =\int_0^{2\pi}\log r^2dx+ \int_0^{2\pi}\log\left(\frac{1}{r^2}-2\frac{1}{r}\cos x+1\right)dx=4\pi \log |r|+0. $$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \int_0^{2\pi}\log(1-2r\cos(x)+r^2)\,\mathrm{d}x &=2\,\mathrm{Re}\left(\oint_\gamma\log(1-z)\frac{\mathrm{d}z}{iz}\right) \end{align} $$ donde el contorno de la integración es $\gamma(x)=re^{ix}$.

Ya que no hay ninguna singularidad en el interior del contorno, la integral es $0$.

Answer 3

Una idea: poner

$$z:=re^{ix}:=r\cos x+i\,r\sin x\;,\;\;r,x\in\Bbb R\implies dz=rie^{ix}dx\;,\;\; 1-2r\cos x+r^2=|z-1|^2$$

así que por una extensión de Cauchy de la Integral de la Fórmula de la MVHF (véase la Nota y los comentarios de abajo), llegamos a la $$\int\limits_0^{2\pi}\log(1-2r\cos x+r^2)dx=\frac{2}{i}\int\limits_{S^1}\frac{\log|z-1|}{z}dz=4\pi\left(\log|z-1|\right)_{z=0}=0$$

Nota: En realidad, el resultado de la siguiente manera a la vez de la Media del Valor de la Propiedad para la Armónica de Funciones (ver comentario abajo y Julien respuesta), que puede ser visto como un "especial" tipo de extensión o, tal vez más precisa, caso especial de la CIF. Siga los enlaces de abajo y de arriba