Inequlidad de Gagliardo-Nirenberg

Question

Estoy leyendo el artículo de Terry Tao '¿Por qué son estables los solitones?' y no entiendo uno de los límites que ha construido sobre la norma $H^{1}$ de la solución $u(x,t)$ a la gKdV, $u_{t} + u_{xxx} + (u^{k})_{x} = 0.

Al inicio de la sección 4, él limita $||u(t)||^{2}_{H^{1}_{x}(\mathbb{R})}$ utilizando esta desigualdad integral: $$\int_{\mathbb{R}}v^{k+1} \leq C(p)\left(\int_{\mathbb{R}}v^{2}\right)^{\frac{k+3}{4}}\left(\int_{\mathbb{R}}v_{x}^{2}\right)^{\frac{k-1}{4}}.$$ Él llama a esto la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg. Dada esta desigualdad, la norma $H^{1}$ de la solución está limitada por su masa y energía - genial.

Sin embargo, pensé que la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg era $$||u||_{L^{p*}(\mathbb{R}^{n})} \leq C(n,p) ||Du||_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}$$ con $1\leq p < n$ y $p* = \frac{pn}{n-p} > p$, lo cual no creo que se pueda usar aquí ya que la gKdV tiene una dimensión espacial, es decir, $n = 1$, lo que impide cualquier uso de este resultado. ¿Cómo usamos Galiardo-Nirenberg aquí?

Answer 1

Ambas desigualdades que mencionas son casos especiales de una familia de desigualdades de interpolación en $R^n$ que Gagliardo y Nirenberg demostraron, las cuales tienen la forma $$\|D^j u\|_{L^p} \le C \|D^m u\|_{L^r}^a \|u\|_{L^q}^{1-a},$$ para $0\le j