¿Solución de la ecuación cuártica y condiciones para raíces reales?

Question

Q1. Cómo resolver una ecuación cuártica. Se dispone de una Calculadora online (y muchos más similares) que da respuestas precisas y también define el método. ¿Alguien sabe lo que es el origen de este método?

Q2. Dada una ecuación cuártica

$$ AX ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0\,, $$ ¿Cuáles son las condiciones para la existencia de raíces reales de la ecuación anterior? ¿Cualquier material de referencia?

Answer 1

¿Qué acerca de un conjunto de expresiones de la cuártica de los coeficientes que discriminan entre todos los casos? Hay 9 casos:

1. 4 claras raíces reales.

2. 3 distintas raíces reales con uno de ellos siendo una doble raíz.

3. 2 distintas doble raíces reales.

4. Raíz Triple y una clara raíz cuarta.

5. Cuádruple raíz.

6. 2 raíces reales distintas y dos raíces complejas.

7. doble raíz real y 2 raíces complejas.

8. 2 haga doble raíces complejas.

9. cuatro distintas raíces complejas.

Estos conjuntos son conocidos por cuadrática y cúbica de polinomios:

Cuadrática ($ ax^2+bx+c $):

Discriminante: $b^2-4ac$

Positivo para los dos raíces reales, cero para el doble de la raíz, y negativo para el complejo conjugado de raíces.

Cúbicos ($ ax^3+bx^2+cx+d $):

$\Delta_1=2b^3-9abc+27a^2d$ $\Delta_2=\Delta_1^2-4(b^2-3ac)^3$.

Entonces:

$ \Delta_2>0 $ da una raíz real y dos raíces complejas.

$ \Delta_2<0$ da tres raíces reales.

$ \Delta_2=0 $ pero $ \Delta_1\neq 0$ da una doble raíz más una raíz diferente.

$ \Delta_1=\Delta_2=0$ da una raíz triple.

Answer 2

El método se basa en un artículo de Herbert E. Salzer "Una Nota sobre la Solución de Ecuaciones de cuarto grado" (Am. De Matemáticas De La Sociedad De Procedimientos, 1959).

Supongamos que existe una ecuación de $X^4+AX^3+BX^2+CX+D=0$, reales o complejas raíces $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$.

En primer lugar, resolver la ecuación cúbica $ax^3+bx^2+cx+d$ donde $a=1$, $b=-B$, $c=AC-4D$, $d=D(4B-A^2)-C^2$; sólo 1 raíz real es necesario, llame a $x_1$.

Encontrar $m=\sqrt{\frac{1}{4}A^2-B+x_1}$, e $n=\frac{Ax_1-2C}{4m}$.

Si m=0, tome $n=\sqrt{\frac{1}{4}x_1^2-D}$.

Proceder para el caso de que yo o caso II dependiendo de si m es real o imaginario.

Caso I. $m$ es real;

Deje $\alpha=(\frac{1}{2}A^2-x_1-B)$ $\beta=4n-Am$

$\gamma=\sqrt{\alpha+\beta}$ $\delta=\sqrt{\alpha-\beta}$.

Con las notaciones anteriores

$X_1=\frac{-\frac{1}{2}A+m+\gamma}{2}$, $X_2=\frac{-\frac{1}{2}A-m+\delta}{2}$, $X_3=\frac{-\frac{1}{2}A+m-\gamma}{2}$, $X_4=\frac{-\frac{1}{2}A-m-\delta}{2}$.

Caso II. $m$ es imaginario. Tome $m=im'$, $n$ es también imaginario, tome $n=in'$;

Deje $\alpha=(\frac{1}{2}A^2-x_1-B)$ $\beta=4n'-Am'$

$\rho=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$, $\gamma=\sqrt{\frac{\alpha+\rho}{2}}$ y $\delta=\frac{\beta}{2\gamma}$.

A continuación,

$X_1=\frac{-\frac{1}{2}A+\gamma+i(m'+\delta)}{2}$, $X_2=\bar{X_1}$,

$X_3=\frac{-\frac{1}{2}A-\gamma+i(m'-\delta)}{2}$, $X_4=\bar{X_3}$

si $\gamma=0$$\alpha=-\alpha', \alpha'\ge 0$, y formaulae arriba todavía se mantienen siempre que $\delta$ es reemplazado por $\sqrt{\alpha'}$.

Esta solución es fácil de programar en contraposición a la tediosa fórmulas por Cardano-Ferrari.

A continuación es una función de MATLAB la producción de raíces REALES sólo (si hay alguna) basado en este método.

%devuelve r1,r2,r3,r4: REAL si las raíces son reales, CERO si el complejo

% isreal1, isreal2, isreal3, isreal4 - lógica (o bits), 1 (true) - si la raíz es real, 0 (false) - si la raíz es complejo

la función [r1, r2, r3, r4, isreal1, isreal2, isreal3, isreal4 ] = quarticsolve_salzer(a4,a3,a2,a1,a0)

%de inicialización

r1=0;

r2=0;

r3=0;

r4=0;

isreal1=0;

isreal2=0;

isreal3=0;

isreal4=0;

a=a3/a4;

b=a2/a4;

c=a1/a4;

d=a0/a4;

%En primer lugar, encontrar 1 raíz real de una ecuación cúbica

$x^3-bx^2+(ac-4d)x+d(4b-a^2)-c^2$%

x1=cubsolve_1realroot(1,-b,a*c-4*d,d*(4*b-a^2)-c^2);

%esta rutina es una versión modificada de la solución encontrada no

m2=0.25*a*a-b+x1;

si(m2)>0)

m=sqrt(0.25*a^2-b+x1);

n=(a*x1-2*c)/4/m;

elseif(m2==0)

m=0;

n=sqrt(0.25*x1^2-d);

otra cosa

%imaginary roots only

% r1,r2,r3,r4 are returned 0, isreal1,2,3,4 returned false (or 0)    

de retorno;

end;

alfa=0.5*a^2-x1-b;

beta=4*n a*m;

si(alfa+beta>=0)

%dos raíces reales son producidos

gamma=sqrt(alfa+beta);

r1=-0.25*un+0.5*m+0.5*gamma;

r2=-0.25*un+0.5*m-0,5*gamma;

isreal1=1;

isreal2=1;

end;

si(alfa-beta>=0)

%otro par de raíces reales producidos

delta=sqrt(alfa-beta);

r3=-0.25*0.5*m+0.5*delta;

r4=-0.25*0.5*m-0,5*delta;

isreal3=1;

isreal4=1;

end;

de retorno;

final

la función [x1]=cubsolve_1realroot(a3,a2,a1,a0)

a=a2/a3; b=a1/a3; c=a0/a3;

Q=(a^2-3*b)/9; R=(2*a^3-9*a*b+27*c)/54; R2=R^2; Q3=Q^3; si (R2

A=-(abs(R)+sqrt(R2-Q3))^(1/3); si (R < 0) A=-A; %Si se utiliza Un=Un signo*(R), entonces, si R=0 = > (R)=0 => A=0 lo cual es incorrecto final si (A==0) B=0; otra cosa B=Q/A; final AB=A+B; x1=AB-a/3; final

Answer 3

No hay un simple método de búsqueda que trabaja siempre para el recuento o estimatica raíces. En general es una aproximación a $a$ de la raíz de $x$ es la interseccion método. Y se aplica el método de$x_0=a\quad x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ Newton para la bestapproximation de raíz. Es decir, $\lim_{n\to \infty}x_n=root$. En más veces, $|x_{10}-root|<0.01$.

Otro método de conteo de las raíces reales escartes más allá de la norma y que es fácil ver que la geometría es el de ordenar los puntos extremos de la ecuación con el máximo, mínimo y punto de silla.

1) sabemos que el teorema fundamental del álgebra que el número de raíces de esta ecuación es, como máximo, igual a cuatro.

2)Deje $ x $ es un punto que punto extremo ($ f '(x) = 0 $): Si $ x $ es el punto de mínima ($ f'' (x)> 0 $) y satisface $ f (x)> 0 $, entonces la ecuación tiene dos raíces complejas. Si $ x $ es el punto máximo ($ f'' (x) <0 $) y satisface $ f (x) <0 $, entonces la ecuación tiene dos raíces complejas. Si $ x $ es el punto de la celda $ f'' (x) = 0 $ $ f (x) = 0 $ $ x $ es el doble de la raíz de la ecuación. 3) también puede utilizar el Teorema del Valor Intermedio ([Véase wikipedia][1]) para verificar la existencia de raíces en un reiais interestimar el intervalo de $ [a, b] $. De hecho, si $f(a)<0<f(b)$ ou $f(b)>0>f(a)$, entonces existe un x ∈ [a, b] tal que f(x) = 0.

Answer 4

Función MATLAB para resolver la ecuación cuártica caso general (basada en la fórmula completa de Wikipedia). Por desgracia, no determina que las raíces son reales (estoy trabajando en eso ahora).

function [r1, r2, r3, r4]=quarticsolve(a4,a3,a2,a1,a0)
%solving quartic equation

    a=a3/a4;
    b=a2/a4;
    c=a1/a4;
    d=a0/a4;

    third=1.0/3.0;
    root3=2^third;

    q1=(b*b-3*a*c+12*d);
    q2=2*b*b*b-9*a*b*c+27*c*c+27*a*a*d-72*b*d;
    q3=-4*q1*q1*q1+q2*q2;
    q4=-a*a*a+4*a*b-8*c;

    s0=0.25*a*a-2*b*third;
    s1=root3*q1*third/(q2+sqrt(q3))^third;
    s2=((q2+sqrt(q3))/54)^third;

    r1=-0.25*a-0.5*sqrt(s0+s1+s2)-0.5*sqrt(2*s0-s1-s2-0.25*q4/sqrt(s0+s1+s2));
    r2=-0.25*a-0.5*sqrt(s0+s1+s2)+0.5*sqrt(2*s0-s1-s2-0.25*q4/sqrt(s0+s1+s2));
    r3=-0.25*a+0.5*sqrt(s0+s1+s2)-0.5*sqrt(2*s0-s1-s2+0.25*q4/sqrt(s0+s1+s2));
    r4=-0.25*a+0.5*sqrt(s0+s1+s2)+0.5*sqrt(2*s0-s1-s2+0.25*q4/sqrt(s0+s1+s2));
end