Deje $\Pi$ denotar el grupo de admisión $$ \langle x,y \mid x^{-1}y^2x=y^{-2}, y^{-1}x^2y=x^{-2} \rangle$$ as a presentation. Clearly, $$\Pi \simeq \langle x,y,a,b \mid x^{-1}ax=a^{-1} , y^{-1}by=b^{-1}, a=y^2,b=x^2 \rangle.$$ For convenience, we will modify slightly this presentation as $$\Pi'=\langle x,y,a_1, \ldots, a_n,b_1, \ldots, b_n \mid x^{-1}\bar{a} x=\bar{a}^{-1} , y^{-1}\bar{b}y=\bar{b}^{-1}, \bar{a}=y^2,\bar{b}=x^2 \rangle$$ where $\bar{a}$ and $\bar{b}$ denote respectively $a_1 \cdots a_n$ and $b_1 \cdots b_n$. Using Tietze transformations, it is not difficult to notice that $\Pi' \simeq \Pi \ast \mathbb{F}_{n-1} \ast \mathbb{F}_{n-1}$ where the two free groups correspond to $\langle a_2, \ldots, a_n \rangle$ and $\langle b_2, \ldots, b_n \rangle$ respectively. In particular, we deduce that $\Pi$ is torsion-free if and only if so is $\Pi'$. On the other hand, $\Pi'$ se puede descomponer como
$$\left( \underset{:=\Pi_a}{\underbrace{\langle x,a_1,\ldots,a_n \mid x^{-1} \bar{a} x=\bar{a}^{-1} \rangle}} \ast \underset{:=\Pi_b}{\underbrace{ \langle y,b_1, \ldots, b_n \mid y^{-1} \bar{b} y = \bar{b}^{-1} \rangle}} \right) / \langle \langle \bar{a}=y^2,\bar{b}=x^2 \rangle \rangle.$$
Como en el anterior, el uso de Tietze transformaciones, nos damos cuenta de que $\Pi_a \simeq \Pi_b \simeq BS(1,-1) \ast \mathbb{F}_{n-1}$ donde $BS(1,-1)$ es el Baumslag-Solitar grupo con la presentación de $\langle p,q \mid pqp^{-1}=q^{-1} \rangle$. En particular, $\Pi_a$ $\Pi_b$ son de torsión libre, pues es $BS(1,-1)$: es un HNN extensión de más de una torsión libre de grupo, es decir,$\mathbb{Z} \underset{\mathbb{Z}}{\ast}$. (También tenemos el isomorfismo $BS(-1,1) \simeq \langle x,y \mid x^2=y^2 \rangle$, por lo que podremos aplicar los argumentos de esta pregunta anterior.)
Ahora, de acuerdo con el Teorema 10.1 en Lyndon y Schupp el libro de Combinatoria, teoría de grupos, si una familia $R \subset F_1 \ast F_2$ satisface la pequeña cancelación de propiedad $C'(1/8)$, entonces el cociente $(F_1 \ast F_2) / \langle \langle R \rangle \rangle$ es de torsión libre siempre que $F_1$ $F_2$ son de torsiones y $R$ no contiene una permutación cíclica de una alimentación correcta.
En nuestro caso, $R= \{ \bar{a}y^{-1}, \bar{b}x^{-1} \rangle$ satisface $C'(1/n)$, por lo que podemos deducir de Lyndon y Schupp del teorema que $\Pi'$ es de torsión libre siempre que $n \geq 8$. A fortiori, $\Pi$ es de torsiones.
Para obtener más información sobre las pequeñas cancelaciones gratis de los productos, consulte la Sección V. 9 de Lyndon y Schupp del libro.
