Encontrar el límite de la siguiente secuencia

Question

Encontrar el límite de la siguiente secuencia %#% $ #%

Answer 1

$$0 \leq \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2}+\dots+\sqrt{n}}\leq \frac{\sqrt{n}}{1+1+\dots+1}=\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$$

Answer 2

Por Stolz-Cesaro,

$$l = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=0$$

Answer 3

Usando la desigualdad media aritmética armónica:

\begin{align}\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2}+\dots+\sqrt{n}}&= \frac{1}{\sqrt{n}}\frac{n}{\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{1}}}+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}+\cdots+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{n}}}}\\ &\stackrel{\text{AH}}{\le}\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}}{n} \\ &\le \frac{1}{\sqrt{n}}\frac{1 + \ldots + 1}{n}\\ &=\frac{1}{\sqrt{n}}\\ &\xrightarrow{n\to\infty} 0 \end {Alinee el}

Answer 4

Encuadre producciones\begin{align*} 0 \leq \frac{n}{1 + 2 + \dots + n + a} = \frac{n}{\frac{n(n+1)}{2} + a} \leq \frac{2n}{n(n+1)} \to 0 \end{align*} donde $a = (\sqrt 1 + \dots + \sqrt n) ^2 - (1 + \dots + n) \geq 0$