¿Es $x$ $\{x\}+\{\frac{1}{x} \}=1$? ¿({} - parte fraccional)?

Question

¿Es $x$ $$\large\{x\}+\left\{\dfrac{1}{x}\right\}=1$$ ($ \ {\} $ - parte fraccional)?

Necesito una dirección o una prueba, por favor responder descriptivamente.
Muchas gracias.

Answer 1

Sugerencia: Tenemos $\{x\} + \{1/x\} = 1$ si y sólo si $x$ y $1/x$ no son números enteros y, $n \in \Bbb Z$, tenemos $x + 1/x = n$, es decir $x \notin \Bbb Z$, $1/x \notin \Bbb Z$, y hay un $n \in \Bbb Z$ tal que $$ x ^ 2 - nx + 1 = 0 $

Answer 2

Para ampliar Omnom la respuesta, podemos completar el cuadrado (o usar la fórmula cuadrática) y llegar a una solución general:

$$\begin{align} \left(x- \frac{n}{2}\right)^2 &= \frac{n^2}{4} - 1\\ x - \frac{n}{2} &= \pm \sqrt{\frac{n^2}{4} - 1}\\ x &= \frac{n \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2} \end{align}$$

$x$ no es integer y real al $|n| > 2$. De hecho, cuando se $|n| > 2$, la diferencia entre las dos raíces cuadradas es, al menos,$5$, lo $n^2 - 4$ no puede ser un cuadrado perfecto, por lo $x$ es irracional y no integral.

Por último, me comentan sobre la $\pm$ signo. Usted encontrará que tomar el recíproco de la más respuesta que le dará el signo menos respuesta, y viceversa, de modo que la suma de $x + \frac{1}{x}$ es el mismo.