Supongo que es una variedad compleja de dimensión compleja $X$ $n$ $Z$ es por lo menos un subvariety de Codimensión complejo $2$. ¿Supongamos que $\pi_1(X)=0$, do tenemos $\pi_1(X-Z)=0$? ¿Tenemos $\pi_1(X-Z)=\pi_1(X)$ en general?
Respuesta
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Deje $X$ ser un real $n$-colector, $M$ real $k$-colector, $Z$ un submanifold de $X$ de codimension al menos $k+2$. (En realidad, usted puede reemplazar a $Z$ $f(Z)$ donde $f: Z \to X$ es cualquier liso mapa, no sólo una incrustación).
A continuación, la inclusión $X-Z \hookrightarrow X$ induce un bijection $[M,X-Z] \to [M,X]$.
Invocar el teorema de transversalidad: surjectivity de la siguiente manera porque si $g: M \to X$ es algo de suave mapa, podemos homotope que sea transversal a $Z$; debido a las dimensiones de un mapa de $g: M \to X$ transversal a $Z$ debe de faltar $Z$ totalmente. Tenga en cuenta que todos los que usamos aquí es que el $Z$ es codimension al menos $k+1$; de hecho si $Z$ es codimension $k+1$ el mapa de $[M,X-Z] \to [M,X]$ es surjective, aunque no necesariamente un bijection.
Para la inyectividad invocar la transversalidad de nuevo, esta vez aplicado a $g_t: M \times I \to X$, asumiendo que el $g_0, g_1$ tanto de miss $Z$. Una versión de la transversalidad teorema dice que esto puede ser homotoped mientras que la fijación de los límites de $\partial g_t: M \times \{0,1\} \to X$ a un mapa de forma transversal a $Z$. De nuevo la invocación de las dimensiones de la nueva homotopy $g'_t: M \times I \to X$ debe de faltar $Z$ como se desee.
Se tarda sólo una ligera modificación para hacer lo anterior para basepointed homotopy clases de basepointed mapas. Esto es lo que usted necesita para demostrar que si $Z$ es codimension al menos $k+2$, $\pi_k(X-Z) \to \pi_k(X)$ es un isomorfismo. Especializada a $k=1$ da el resultado que usted desea.
