Cómo encontrar $(Ker(A^{*}))^{\perp}$

Question

Que $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$$ Find a basis for $(Ker(A^{*})) ^ {\perp} $.

Encontrar vectores $b_i$ tal implica de que $ y \perp b$ $Ax = y$ es soluble.

Sé que $A^{*}$ es simplemente $A^T$ $A$ es una matriz real. Puedo encontrar una base para $Ker(A^{*})$, fácilmente. ¿Cómo cambia el operador de $\perp$ cosas? También, ¿cómo puedo encontrar vectores $b_i$ tal implica de que $ y \perp b$ $Ax = y$ es solucionable?

Answer 1

En primer lugar, no sé si por una matriz de $B$ normalmente se define $Ker(B):=\{v\in V\mid Bv=0\}$, He visto esto sólo para los operadores lineales (por supuesto, uno puede considerar una matriz como un operador definido por $v\mapsto Bv$ ), pero supongo que este es el caso aquí.

Tienes razón en que ya todas las entradas son reales, a continuación, $$ A^{*}=A^{T} $$

ahora, supongo que usted sabe cómo encontrar una base para $Ker(B)$ al $B$ es dado - en este caso tome $B=A^{*}$, dicen que es $\{v_{1},...v_{k}\}$

Ahora, podemos completar esta base, una base para todos los de $V$ y el uso Graham-Schmidt proceso sobre esta base - desde cuando aplicamos este proceso de $$ \{v_{1},...,v_{k}\} $$

y obtener $$ \{u_{1},...,u_{k}\} $$

con el mismo lapso de ello se sigue que $\{u_{1},...,u_{k}\}$ es una base para$Ker(A^{*})$.

Ahora los otros vectores en la base completa para $V$ son todos ortogonal a la $u_{i}$ - de ahí ortogonal a cualquier combinación lineal de ellos, por lo tanto a todos los de $Ker(A^{*})$.

Es un teorema que $$ V=W\oplus W^{\asesino} $$

para cada subespacio $W$ y por lo tanto llegamos a la conclusión de que el resto de los vectores son en realidad una base para $Ker(A^{*})^{\perp}$

Yo se lo dejo a usted para aplicar a este ejemplo.

Answer 2

El teorema de "cuatro subespacios" nos dice que el complemento ortogonal del espacio nulo de $A^*$ es el rango (espacio de la columna) de $A$. Así que para la primera parte, sólo necesita encontrar una base para el espacio de la columna de $A$.

Si es ortogonal a cada vector en $y$, entonces el $N(A^*)$, $y \in R(A)$ $Ax = y$ tiene tan una solución. Puede elegir el % de vectores $b_i$para formar una base para $N(A^*)$.