Extensión de una operación binaria

Question

¿Podría ayudarme con el siguiente problema?

Dejemos que $X$ sea un conjunto con una operación binaria (no necesariamente asociativa). Sea $o$ sea un elemento tal que $o \not \in X$ y que $X^o=X \cup \{o\}$ .

Demuestre que sólo existe una extensión de la operación sobre $X$ a una operación en $X^o$ tal que $o$ es su elemento neutro.

Agradecería cualquier ayuda.

Gracias.

Answer 1

Una operación en $X$ es una función $X\times X\to X$ , así que cuando hayas especificado la acción en todos los pares, lo tendrás.

Denotemos por $\cdot$ la operación original en $X$ y por $\bullet$ la operación en $X^o=X\cup\{o\}$ .

Entonces, para $x$ y $y$ en $X$ Debemos tener

$$x\bullet y=x\cdot y,$$

porque queremos una operación que amplíe la original, mientras que queremos que $o$ es el elemento neutro en $X^o$ que obliga a

\begin{gather} o\bullet x=x\\ x\bullet o=x\\ o\bullet o=o \end{gather}

para todos $x\in X$ . No falta ningún par, porque un par de elementos en $X^o\times X^o$ o bien tiene $o$ o no, por lo que debe ser de una de las formas

$$(x,y),\quad (o,x),\quad (x,o),\quad (o,o)$$

con $x,y\in X$ .

Por lo tanto, la extensión es única como se requiere.