¿Puede el grupo de Lie $\text{G}_2$ ser exhibido como una intersección $\text{SO}(7) \cap H$ donde $H \leq \text{SL}_7(\mathbb{R})$ ?

Question

El grupo de Lie simple compacto $\text{G}_2$ tiene una representación fiel bien conocida en $\mathbb{R}^7$ , por lo que podemos considerar $\text{G}_2 \leq \text{GL}_7(\mathbb{R})$ . Equipamiento $\mathbb{R}^7$ con el producto interior euclidiano habitual, resulta que $\text{G}_2 \leq \text{SO}(7)$ .

Mi pregunta es que en el título: ¿Podemos escribir $\text{G}_2 = \text{SO}(7) \cap H$ , donde $H \neq \text{G}_2$ también es un subgrupo de $\text{SL}_7(\mathbb{R})$ ?

Me alegraría mucho oír que la respuesta es "sí", pero sospecho firmemente que la respuesta es "no".

Adenda: En términos más generales, me interesaría conocer la existencia de subgrupos de Lie conectados $K$ con $\text{G}_2 < K < \text{SL}_7(\mathbb{R})$ que no sea $K = \text{SO}(7)$ .

Answer 1

Esto no es una respuesta completa, pero sí responde a tu adenda (donde has añadido la palabra "conectado").

Bajo la acción de $G_2$ el álgebra de Lie $\mathfrak{sl}_7$ se descompone como $\mathfrak{g}_2 \oplus \mathbb{R}^7 \oplus S^2_0(\mathbb{R}^7)$ . Ahora, $\mathfrak{so}(7) = \mathfrak{g}_2 \oplus \mathbb{R}^7,$ por lo que los únicos candidatos a $\mathfrak{h}$ son $\mathfrak{g}_2$ y $\mathfrak{g}_2 \oplus S^2_0(\mathbb{R}^7).$ Pero $\mathfrak{g}_2 \oplus S^2_0(\mathbb{R}^7)$ no está cerrado bajo el soporte de Lie. Por ejemplo, $ [ E_{1,1} - E_{2,2}, E_{1,2}+E_{2,1} ] = 2 E_{1,2}-2 E_{2,1}$ que no es un elemento de $\mathfrak{g}_2 \oplus S^2_0(\mathbb{R}^7)$ (Estoy utilizando la definición estándar de $G_2$ aquí, por supuesto). Esto demuestra que el componente de identidad de $H$ es de hecho $G_2$ .