Problema de cálculo bono

Question

resolver algebraicamente

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[4]{1-2x}}{x+x^2}$$

sin utilizar la regla de L'hopital

Esta es una pregunta de bono para mi clase de matemáticas intensivas principales Cal 1, me gustaría saber cómo solucionarlo ya que me confundido en la prueba, y después de muchas horas de trabajar en este problema ha confundido me una y otra vez

Answer 1

Vamos a utilizar la fórmula $$ a-b=\frac{a^{12} b^{12}}{a^{11}+a^{10}b+\ldots+ab^{10}+b^{11}} $$ con $$ a=\sqrt[3]{1+x^2}\quad\mbox{y}\quad b=\sqrt[4]{1-2x}. $$

Esto le da $$ \sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[4]{1-2x}=\frac{(1+x^2)^4-(1-2x)^3}{a^{11}+a^{10}b+\ldots+ab^{10}+b^{11}}=\frac{6x-8x^2+\ldots}{a^{11}+a^{10}b+\ldots+ab^{10}+b^{11}} $$ $$ \frac{2x(3-4x+\ldots)}{a^{11}+a^{10}b+\ldots+ab^{10}+b^{11}}. $$ Así $$ \frac{\sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[4]{1-2x}}{x+x^2}=\frac{2(3-4x+\ldots)}{(1+x)(a^{11}+a^{10}b+\ldots+ab^{10}+b^{11})}. $$ Ahora tenga en cuenta que tanto $a$ $b$ tienden a $1$, por lo que su límite es $$ \frac{2\cdot 3}{12}=\frac{1}{2}. $$

Answer 2

Como $x \rightarrow 0$, se puede omitir el $x^2$ piezas, como van a cero más rápido que $x$. el límite es equivalente a

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-(1-2 x)^{1/4}}{x}$$

Ahora el uso de la diferencia de dos cuarto de poderes:

$$y^4-z^4 = (y-z)(y+z)(y^2+z^2)$$

lo que significa que

$$1-(1-2 x)^{1/4} = \frac{2 x}{(1+(1-2 x)^{1/4})(1+(1-2 x)^{1/2})}$$

El límite es, a continuación,$2/((2)(2)) = 1/2$.

EDITAR

Porque la pregunta era sobre el enfoque intuitivo, voy a hacer un poco de justificación acerca de mi primera declaración. Escribir

$$(1+x^2)^{1/3} - (1-2 x)^{1/4} =( 1-(1-2 x)^{1/4}) - (1-(1+x^2)^{1/3})$$

Para el segundo término en el lado derecho, el uso de $y^3-z^3 = (y-z)(y^2+yz+z^2)$ y obtener

$$1-(1+x^2)^{1/3} = \frac{-x^2}{1+(1+x^2)^{1/3} + (1+x^2)^{2/3}}$$

que, cuando se divide por $x$, va a cero en el límite.

Answer 3

Aunque como comentario anterior usted no está familiarizado con lo siguiente; Escribo aquí para guardarlo para la siguiente. De hecho @julien hizo la respuesta completamente. La función $\alpha(x)$ puede decirse muy pequeño en $x\to a$ cuando $$\lim\alpha(x)\to 0$$ There are some facts about such this function. For example $\sqrt[n]{1+\alpha(x)}-1\sim\frac{\alpha(x)} $ {n} $. So $$\sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[4]{1-2x}=(\sqrt[3]{1+x^2}-1)-(\sqrt[4]{1-2x}-1)~\sim~\frac{x^2}{3}-\frac{-2x}{4}=\frac{x^2}{3}+\frac{x}{2}$$ when $x\to 0 de ambos lados. Creo que el problema es fácil desde aquí.