Comportamiento histórico de los promedios de Birkhoff

Question

Birkoff Ergodic Teorema: Vamos a ser $(X,\mathcal{A},\mu)$ un espacio de probabilidad, $T:X\to X$ medibles tranformation preservar $\mu$$f\in L^{1}(\mu)$, entonces existe un $\Sigma \subset X$ $\mu(\Sigma)=1$ de manera tal que el límite

$$ \widetilde{f}(x)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}f(T^j(x)) $$ existe para todas las $x\in \Sigma.$ También $~\widetilde{f}\circ T= \widetilde{f} $ ,$\widetilde{f}\in L^1(\mu)$ y $\int fd\mu=\int \widetilde{f}d\mu.$

Mi problema: Vamos a ser, por ejemplo, $T(x)=2x~\text{mod} 1$ la duplicación del mapa. Estoy buscando un ejemplo concreto de un Borelian y punto de $x$ de manera tal que el límite

$$ \widetilde{1}_A(x)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}1_A(T^j(x)) $$ no existe.

Obs.: La idea de esto es más o menos claro para mí, Se trata de elegir un $ x $ que no es un preperiodic punto, que el borelian buscado es

$$ A=\{ T^nx, ~n\in I \} $$

donde $ I $ es un conjunto de tipo $I=\{1,2, ,\ldots,a_1, \underbrace{a_2,a_2+1,a_2+2\ldots}_{a_2=2^{a_1}}, \underbrace{a_3,a_3+1,a_3+2\ldots}_{a_3=2^{a_2}}, a_4,\ldots \}$
por lo tanto, el de Birkhoff promedios de $x$ va a ser que oscilan entre 0 y 1.

Mi problema es que yo no soy capaz de demostrar esto con un ejemplo concreto, con todos los Epsilons y deltas

Answer 1

Tomar $A = [1/2,1]$ y $$x = \sum_{k=0}^\infty \sum_{j=3^{2k+1}}^{3^{2k+2}-1} 2^{-j} $ $ es decir, tiene la extensión "decimal" base 2 $x$ $0$ en posición $j$ si es $\lfloor \log_3(j) \rfloor$ y $1$ si es impar. Tenga en cuenta que $\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} 1_A(T^j x)$ es la fracción de %#% de #% en posiciones $1$ $1$ de la expansión de $n$, que es al menos $x$ si $2/3$ y en la mayoría $n = 3^{2k}$ si $1/3$.