Muestran que para $\forall a\in\mathbb{H}, \ \exists b \in\mathbb{H}: ab =ba = 1$.

Question

Mostrar que $\forall a\in\mathbb{H}, \ \exists b \in\mathbb{H}: ab =ba = 1.$

¿Estoy seguro de puede ser google el inverso multiplicativo en $\mathbb{H}$, pero me puede dar una pista sobre cómo determinar la inversa von un % arbitrario $a \in\mathbb{h}$yo? Esta tarea viene directamente después de que la conjugación es un antihomomorphism de anillo. ($a\ \bar+ \ b\ = \bar a+\bar b, a\ \bar *\ b = \bar b*\bar a$ y $ 1 = \bar1$)

Answer 1

Esta es una especie de enfoque no estándar, pero creo que ilustra un buen modelo para $\mathbb H$.

Tenga en cuenta que $\mathbb H$ es isomorfo al álgebra de matrices sobre $\mathbb C$ de la forma $$\begin{pmatrix} a+bi & c+di\\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}$$ cual es fácil de comprobar: usted sólo tiene que comprobar que contiene una copia de $\mathbb R$ (es decir, las matrices con $b=c=d=0$) y que contiene a $i,j,k$ tal que $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$, que provienen de la configuración de todo, pero de $b,c$ $d$ respectivamente igual a $0$.

Ahora la inversa es simplemente la inversa de una $2\times 2$ matriz, que es fácil de calcular, y puede ser fácilmente demostrado tener la misma forma.

Answer 2

Sólo debe resolver ($(x + y i + z j + w k)(a+b i + c j + d k) = 1.$ aviso que obtendrá un sistema de ecuaciones lineales en $x, y, z, w.$

Answer 3

Mostrar que $\forall a\in\mathbb{H}, \ \exists b \in\mathbb{H}: ab =ba = 1.$

Esta tarea viene directamente después de mostrar que la conjugación es un anillo antihomomorphism.

Inversos son fáciles de encontrar en el interior de los cuaterniones con la conjugación, la multiplicación y la división.

Realmente, la única computacional hecho de que usted necesita es que el $a\overline{a}\in \Bbb R$. Mirando lo conjugación hace a cuaterniones, usted puede ver fácilmente que $\overline{q}=q\iff q\in \Bbb R$.

Pero entonces, dado que la conjugación es un antihomomorphism, $\overline{q\overline{q}}=\overline{\bar q}\bar q=q\bar q$, lo $q\bar q$ es real.

Pero, a continuación, ver: $q(\frac{\bar q}{q\bar q})=1$ encuentra un derecho inversa para $q$. Como esto es cierto para todos los distinto de cero cuaterniones, $\frac{\bar q}{q\bar q}$ tiene derecho a la inversa también, que es necesariamente $q$. Por lo tanto $\frac{\bar q}{q\bar q}=q^{-1}$.