¿Cómo entender al cardenal regular?

Question

¿Cómo entender al cardenal regular? ¿Alguien me podría dar algunos ejemplos?

Answer 1

Nota: toda esta respuesta supone que el axioma de elección, sin ella, todo cambia y las reglas se aplican en una manera completamente diferente.

Para entender la regularidad que uno debe entender lo que es cofinality. Los cardenales son generalmente considerados como inicial ordinales, es decir, los números ordinales que no tienen bijection con un menor ordinal. $\newcommand{\cf}{\operatorname{cf}}$

Los números ordinales son conjuntos ordenados, y son bien ordenado, lo que significa que la orden se comporta como una escalera de mano. Al igual que una escalera real, uno puede saltar varios niveles en un solo paso. Cofinality de un ordinal es la pregunta ¿cuál es el mínimo número de pasos que uno tiene que tomar con el fin de asegurarse de que "llegar a la cima"?

Mientras que llegar a la cima de una infinita escalera es imposible en la mayoría de los casos, que en lugar de lo que es "llegar a la cima" como "eventualmente pasando a todos los niveles", es decir, sin límites.

Así cofinality hace una pregunta acerca de los subconjuntos de los ordinales. Subconjuntos de un ordinal se encuentran ordenados por la restricción de la orden, y por lo tanto son isomorfo a un ordinal a sí mismos. Uno puede volver a pedir la escalera pregunta de una manera nueva:

¿Cuál es el menor tipo de orden de un conjunto ilimitado?

En un lenguaje informal, esto es exactamente la definición de cofinality. No es difícil ver que este menos el tipo de orden que tiene que estar, en primer ordinal de un cardenal. A continuación, podemos denotar por $\cf(\alpha)$.

Por ejemplo, $\cf(\omega)=\omega$, ya que cada subconjunto finito de $\omega$ es acotado, y cada subconjunto infinito de $\omega$ tiene el tipo de orden de $\omega$.

En forma similar, $\cf(\omega_1)=\omega_1$ desde un subconjunto de a $\omega_1$ es acotada si y sólo si es incontable, e incontables los subconjuntos de a $\omega_1$ son siempre del mismo tipo.

De hecho, por Zermelo del teorema que $\aleph_\alpha\cdot\aleph_\alpha=\aleph_\alpha$ tenemos que cada sucesor, el cardenal es regular, esto por las mismas consideraciones que hicimos con $\omega$$\omega_1$.

El ordinal $\omega_1+\omega$ ha cofinality de $\omega$ ya que podemos encontrar un conjunto ilimitado de orden tipo de $\omega$, es decir,$\{\omega_1+n\mid n\in\omega\}$. Sin embargo $\omega_1+\omega$ no es un primer ordinal, entonces viene la pregunta ¿podemos tener cardenales no es igual a su cofinality?

Bien, la respuesta es, de hecho, sí. Si un cardenal es el límite de la menor cardenales , a continuación, puede tener un carácter estrictamente menor cofinality de sí mismo. Por ejemplo, $\aleph_\omega=\sup\{\aleph_n\mid n\in\omega\}$ y la correspondiente inicial ordinales nos da el conjunto ilimitado en $\omega_\omega$, por lo que tenemos $\cf(\aleph_\omega)=\omega$.

De hecho, se puede comprobar fácilmente que: $$\cf(\aleph_\alpha)=\begin{cases}\aleph_\alpha & \alpha=\beta+1\\ \cf(\alpha) & \text{otherwise}\end{cases}$$

Por fin alcanzamos el punto de la respuesta: $\kappa$ es regular el cardenal si y sólo si $\kappa=\cf(\kappa)$. Si $\kappa$ es un sucesor, el cardenal, entonces siempre es regular, si es un límite cardenal es improbable si no $\kappa$ pueden ser regulares. Tenga en cuenta también que desde $\cf(\alpha)$ es un cardenal es imposible que un ordinal que no es un cardenal a ser regular.

¿Por qué es improbable? Si $\kappa=\aleph_\kappa=\cf(\kappa)$ (es decir, un límite regular cardenal), a continuación, podemos producir un modelo en el que no hay tal cardenal. Sin embargo, una reclamación comprobable de ZFC debe mantener en todos los modelos de ZFC. (Actualmente no se conoce ninguna refutación de la existencia de estos cardenales)

Lectura adicional material en este sitio:

1. Cofinality y sus Consecuencias

Answer 2

NOTA 1: no estoy seguro, si hay alguna diferencia de lo que sucede si estamos trabajando en ZF sólo. Voy a suponer Axioma de Elección en mi post.

El cardenal $\kappa$ es regular si no puede obtenerse como la unión de sistema de menos de $\kappa$, cada una de ellas con cardinalidad $<\kappa$. Un cardenal, que no es regular, se llama singular.

NOTA 2: Vamos a definir aquí estas nociones de infinito cardenales sólo. (No estoy seguro de lo que es la convención sobre finito cardenales. De acuerdo a Wikipedia: Finito de los números cardinales no son normalmente llamados regular o singular.)

Yo estoy usando uno de la definición habitual de los cardenales como inicial ordinales de von Neuman construcción, véase, por ejemplo, este y este artículo de la Wikipedia. Esto significa, que el cardenal $\kappa$ es en sí mismo un conjunto de cardinalidad $\kappa$. Otra cosa importante es que en esta representación de la clase de todos los cardenales, es bien ordenado.

Con esta representación podemos demostrar que un cardenal $\kappa$ es singular si se puede obtener como $\kappa=\sup\{\alpha_\gamma; \gamma<\kappa\}$ donde $\alpha_\gamma<\kappa$ por cada $\gamma<\kappa$. I. e., singular cardenal el cardenal, que pueden ser obtenidos como supremum de cardenales (ordinales) menor que $\kappa$.

Esto muestra cómo la noción de regular y singular cardenales está relacionado con cofinality: Un infinito cardenal $\alpha$ es regular si y sólo si $\alpha=\operatorname{cf}(\alpha)$. Si es singular si y sólo si $\operatorname{cf}(\alpha)<\alpha$.

Ejemplos:

• $\aleph_0$ es regular, ya que usted no puede conseguir a $\aleph_0$ es finito unión finita de conjuntos.
• $\aleph_\omega$ es singular, ya que $\aleph_\omega=\sup\{\aleph_n; n<\omega\}$.
• Se puede demostrar que cada sucesor, el cardenal $\aleph_{n+1}$ es regular.

COMENTARIO: yo no escribí aquí algo de lo que no puede ser encontrado en el artículo de la Wikipedia en regular cardenales o cualquier norma que la teoría de conjuntos de libros de texto. Tal vez alguien va a venir para arriba con la respuesta, que de alguna manera se le da mejor la intuición acerca de estas nociones. Pero en caso de que verificada esta en la Wikipedia o en alguna teoría de conjuntos de libros de texto, que podría ser útil, si se especifica lo que estaba claro para usted.

En caso de que quieras saber algo acerca de regular y singular ordinales demasiado, Wikipedia podría ser un buen comienzo.