¿Obligando a preservar los ordinales menos indefinible desde un modelo de ZFC?

Question

Deje $M$ ser un modelo transitivo de ZFC. Por comodidad, vamos a suponer que $M$ es contable. Consideremos ahora el menos indefinible ordinal $\vartheta_M$ que no es definible a partir de elementos en $M$ $M$ a sí mismo como parámetros. Por ejemplo, si $\alpha$ es la altura de $M$ $\alpha+\alpha$ $\alpha^2$ son definibles de $M$, por lo que son (estrictamente) menos de $\vartheta_M$. Ya que hay sólo contables fórmulas posibles y $|M|$ posibles parámetros sólo tenemos $|M|$ definibles ordinales de $M$, lo $\vartheta_M<|M|^+$.

Mi pregunta es si forzar conserva el tamaño de $\vartheta_M$. Es decir, si $M[G]$ es una extensión genérica de $M$$\vartheta_{M[G]} = \vartheta_M$? Supongo que $\vartheta_M$ sólo depende de la altura de $M$. Gracias por la ayuda.

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Yo debería proporcionar más precisa de la noción de definability. La definición de $\vartheta_M$ me imagino que es: un modelo transitivo $M$, un definibles clase $C\subseteq M$ (esto es, tenemos una fórmula $\ulcorner\phi\urcorner$ y los parámetros de $a_1,\cdots, a_n\in M$ tal que $x\in C\iff M\models \ulcorner\phi\urcorner(x, a_1,\cdots, a_n)$) y definible de pedidos $\prec$ $C$ bien ordenado si para cada definibles $X\subseteq C$ $X$ está vacía o $X$ tiene el $\prec$-mínimo.

$(C, R)$ podría no ser bien ordenado en $V$. Sin embargo, si está bien ordenado, entonces podemos encontrar el ordinal isomorfo a$(C, R)$, y consideramos que el menor ordinal $\vartheta_M$ no isomorfo a cualquier $(C, R)$. En ese sentido, me puede argumentar que $\vartheta_M < |M|^+$.

Answer 1

Forzando sin duda puede cambiar qué ordinales son definibles en este sentido. Por ejemplo, $N$ un conjunto modelo de ZFC (dentro de $V$), que $\alpha_N$ sea el mínimo de lo números ordinales $\alpha$ tal que el continuo patrón de $$\{i: 2^{\aleph_{\omega_\alpha+i}}=\aleph_{\omega_\alpha+i+1}\}$$ is in $N$. Then there's no reason we can't have a model $M$ such that $\alpha_M=0$, but a forcing extension $M[G]\in V$ such that $\alpha_{M[G]}=\theta_M$ (maybe the continuum patterns in $V$ look Cohen over $M$, and we happen to pick $G$ to match the relevant pattern exactly). Of course, the obvious way to do this involves a terrible $V$, pero no hay ninguna razón que no puede ocurrir.