¿Cómo resolver ecuaciones exactas mediante la integración de factores?

Question

Yo sé cómo resolver una ecuación exacta como

$$M(x,y) + N(x,y)y=0 $$

Acabamos de comprobar $$\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial N}{\partial x} $$

Si es así, entonces es sólo un poco de álgebra, la toma de anti-derivada y resolver, de manera tal que $f = f(x,y) = c$, donde se puede obtener la $f$ sólo por tomar integal w.r.t. $x$ etc.

Pero ahora estoy atascado con la integración de los factores. Que puedo hacer si el factor de integración $\mu=\mu(x)$ sólo depende de una variable. Pero ahora quiero hacer otro ejercicio, que utiliza una función de la forma $\mu(x+y)$.

Cómo puedo solucionar $$(7x^3+3x^2y+4y) +(4x^3+x+5y)y'=0 $$ I'm given a hint that I should use a function of the form $\mu(x+y)$.

Supongo que solo debo multiplicar por $(x+y)^m$ por un arbitrario $m$, pero no sé cómo hacer el álgebra después de que multiplica...

Supongo que algo como esto :

$$\frac{\partial (M \mu)}{\partial y}= m(x+y)^{m-1}(7x^3+3x^2y+4y) + (x+y)^m(3x^2+4) =$$

$$\frac{\partial (N\mu)}{\partial x} = m(x+y)^{m-1}(4x^3+x+5y) + (x+y)^m(12x^2+1) $$

Cómo resolver para $\mu$ ?

Answer 1

Sugerencia: Le permiten tener un OE como $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ and let $\mu=\mu(z(x,y)) $ be an integrating factor for it. If $$\frac{M_y-N_x}{Nz_x-Mz_y}$$ be a function respect to $z$ then $$\mu=\exp\left(\int\frac{M_y-N_x}{Nz_x-Mz_y}dz\right)$$. Here $z=x+y$, so $z_x=1,z_y=1$ and therefore your integrating factor is $\mu=\exp\left (\int\frac {M_y N_x} {nm} dz\right) $. You can easily find $\mu$ by doing $$(\mu M)_y=(\mu N)_x$$ as well. For thsi problem $$\mu=\exp\left(\int\frac{3x^2+4-12x^2-1}{4x^3+x+5y-7x^3-3x^2y-4y}dz\right)=\exp\left(\int\frac{3(1-3x^2)}{(x+y)(1-3x^2)}dz\right)$$ which if $3x^2-1\neq0$ then $$\mu=\exp\left(\int\frac{3}{x+y}dz\right)=\exp\left(\int\frac{3}{z}dz\right)$$ creo que se puede hacer la descanso.

Answer 2

Su factor de integración es \mu $$ (x + y) =(x+y) ^ 3. $$

Se encuentra usted utiliza la estrategia habitual expresando \mu_yM-\mu_xN=\mu(N_x-M_y).\tag$ {1} $$ después de alguna simplificación puede encontrar que \frac{N_x-M_y}{M-N}=\frac{3}{x+y $$}. $$ Por lo tanto, si $\mu(x,y)=\mu(x+y)$ $(1)$ simplifica a $ $\mu'_w=\frac{3\mu}{w},\quad w = x + y, $ $de que encontrará su factor de integración.