¿Por qué el supremum de la puente Browniano tiene la prueba de Kolmogorov–Smirnov de distribución?

Question

El test de Kolmogorov–Smirnov de distribución es conocida a partir de la prueba de Kolmogorov–Smirnov. Sin embargo, también es la distribución de la supremum de la puente Browniano.

Ya que esto está lejos de ser evidente (para mí), me gustaría pedirle una explicación intuitiva de esta coincidencia. Las referencias también son bienvenidos.

Answer 1

$\sqrt{n}\sup_x|F_n-F|=\sup_x|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)| $

donde $Z_i(x)=1_{X_i\leq x}-E[1_{X_i\leq x}]$

por CLT tiene $G_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)\rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

esta es la intuición...

browniano puente de $B(t)$ varianza $t(1-t)$ http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge reemplace$t$$F(x)$. Este es uno de los $x$...

También es necesario comprobar la covarianza y, por tanto, todavía es fácil demostrar (CLT) que para ($x_1,\dots,x_k$) $(G_n(x_1),\dots,G_n(x_k))\rightarrow (B_1,\dots,B_k)$ donde $(B_1,\dots,B_k)$ $\mathcal{N}(0,\Sigma)$ con $\Sigma=(\sigma_{ij})$, $\sigma_{ij}=\min(F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$.

La difícil parte es mostrar que la distribución de la suppremum de que el límite es el supremum de la distribución de los límite... la Comprensión de por qué ocurre esto requiere algún proceso empírico de la teoría, la lectura de libros como los de van der Waart y Welner (no es fácil). El nombre del Teorema es el Teorema de Donsker http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

Answer 2

Para la prueba de Kolmogorov-Smirnov, considerar la hipótesis nula. Se dice que una muestra es tomada de una distribución particular. Así que si usted construcción empírica de la función de distribución para $n$ muestras $f(x) = \frac{1}{n} \sum_i \chi_{(-\infty, X_i]}(x)$, en el límite del infinito de datos, converge a la distribución subyacente.

Para finito de información, y se apaga. Si una de las medidas es$q$, $x=q$ la distribución empírica de la función toma un paso hacia arriba. Podemos mirarlo como a una caminata aleatoria que está restringido para comenzar y terminar en la verdadera función de distribución. Una vez que usted sabe que usted vaya a correr la literatura por la gran cantidad de información conocida sobre el paseo aleatorio para averiguar cuál es el más grande esperado desviación de un pie.

Usted puede hacer el mismo truco con cualquier $p$-norma de la diferencia entre lo empírico y de distribución de funciones. Para $p=2$, que se llama la Cramer-von Mises de la prueba. No sé el conjunto de todas estas pruebas para arbitrario real, positivo $p$ formulario de una clase completa de cualquier tipo, pero podría ser una cosa interesante de mirar.