Una pregunta en un subespacio de$C[0,1]$, que está cerrada en$L^{2}$

Question

Deje $S$ ser un subespacio de $C[0,1]$, que se cierra como un subespacio de $L^{2}[0,1]$.

una. Mostrar que $S$ es cerrado en $(C[0,1], ||.||_{\infty})$.

b. Mostrar que hay una constante $M$ tal que para todos los $f\in S$,$||f||_{\infty} < M||f||_{2}$.

c. Demostrar que para cada una de las $y\in [0,1]$, hay una función de $k_{y}$$L^{2}$, de tal manera que para todos los $f\in S$ tenemos $f(y)=\int k_{y}(x)f(x) dx$.

Mi intento: me han resuelto las dos primeras preguntas. La primera pregunta que se deduce del hecho de que $||f||_{2}\leq ||f||_{\infty}$.

A continuación, la parte (b) es la delimitada inversa teorema.

Estoy atrapado en (c). Pensé que para definir un mapa de decir $\phi: L^{2} \to \mathbb{R}$, dado por $\phi(f)=f(y)$ , para un fijo $y\in [0,1]$. Si $\phi$ es continuo, a continuación, por la representación de Riesz teorema existe una $k_{y} \in L^{2}$ tal que $$\phi(f)= \int k_{y}(x)f(x)dx = f(y)$$, and we are done. The second inequality can help in showing the continuity but only for $f\in S$. Es este mapa acotado? Cómo puede ser resuelto.

Gracias de antemano!!

Answer 1

Dado que ha resuelto la parte b, la parte c puede resolverse, como sugiere, usando el teorema de representación de Riesz. Para$y\in[0,1]$ define$\phi:S\to\mathbb C$ por$\phi(f)=f(y)$ para$f\in S$. Luego, para$f\in S$ tenemos$$|f(y)|\leq\|f\|_\infty\leq M\|f\|_{L^2}$ $. Así, el funcional lineal$f\mapsto f(y)$ es$L^2$ delimitado, de ahí que se pueda aplicar el teorema de representación de Riesz, por lo que hay$k_y\in S$% tal que$\phi(f)=\langle f, k_y\rangle$.