Parece que tanto los operadores isométricos como los unitarios sobre un espacio de Hilbert tienen la siguiente propiedad:
$U^*U = I$ ( $U$ es un operador y $I$ es un operador de identidad, $^*$ es una operación binaria).
¿Cuál es la diferencia entre isometría y unitario ? ¿Cuál es más general? ¿o son lo mismo? ¿Son isomorfas?
Un operador isométrico en un espacio de Hilbert (complejo) es un operador lineal que preserva las distancias. Es decir, $T$ es una isometría si (por definición) $\|Tx-Ty\|=\|x-y\|$ para todos $x$ y $y$ en el espacio. Por linealidad, esto equivale a $\|Tx\|=\|x\|$ para todos $x$ . Debido a la definición de la norma en términos del producto interior y a la definición de los operadores adjuntos, esto es equivalente a $\langle T^*Tx,x\rangle=\langle x,x\rangle$ para todos $x$ . Este implica que $T^*T=I$ . Por el contrario, si $T^*T=I$ se puede demostrar que $T$ es una isometría (esta dirección es más fácil).
Un operador unitario $U$ sí satisface $U^*U=I$ y, por tanto, es una isometría. Sin embargo, los operadores unitarios también deben ser suryentes (por definición), por lo que son isométricos e invertibles. Son los isomorfismos isométricos sobre el espacio de Hilbert. Una forma de caracterizarlos algebraicamente es decir que $U$ es un unitario si $U^*U=UU^*=I$ .
En los espacios de Hilbert de dimensión infinita (a diferencia de los casos de dimensión finita), siempre hay isometrías no unitarias. Por ejemplo, en $\ell^2$ el operador que envía $(a_0,a_1,a_2,a_3,\ldots)$ a $(0,a_0,a_1,a_2,\ldots)$ es una isometría no unitaria.
No sé qué quieres decir con "isomorfo". Una noción de equivalencia de las transformaciones lineales es la similitud; pero un operador suryectivo nunca es similar a un operador no suryectivo. Una noción más fuerte es la equivalencia unitaria, es decir, la similitud inducida por una transformación unitaria (ya que éstas son los isomorfismos isométricos del espacio de Hilbert), lo que tampoco puede ocurrir entre una isometría no unitaria y un operador unitario (o entre cualquier operador no unitario y un operador unitario).
En dimensiones finitas, existe una caracterización directa de las isometrías y los unitarios en términos de sus representaciones matriciales.
La observación básica es que $U^*U=I$ significa que las columnas de (la representación matricial de) $U$ son ortonormales, mientras que $UU^*=I$ significa que el filas de $U$ son ortonormales.
Una unidad $U$ es una matriz cuyas columnas (equivalentemente, filas) forman una ortonormal base . Esto equivale a ambos sus columnas y filas son ortonormales. Una isometría, en cambio, sólo requiere que las columnas sean ortonormales, pero no que formen una base.
En resumen, la distinción entre los dos objetos puede afirmarse como sigue: una isometría es una matriz cuyas columnas son ortonormales, mientras que una unitaria es al cuadrado matriz cuyas columnas son ortonormales .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
