Permita que$\sum _{n=1}^{\infty} a_{n} $ y$\sum _{n=1}^{\infty} b_{n} $ converjan absolutamente. Pruebalo ...

Question

Permita que$\sum _{n=1}^{\infty} a_{n} $ y$\sum _{n=1}^{\infty} b_{n} $ converjan absolutamente. Demuestre que$\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{|a_{n}b_{n}|} $ converge.

Sé que la serie$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n}$ converge absolutamente, pero estoy teniendo problemas para mostrar lo que quieren. He intentado mostrar que las sumas parciales están limitadas, pero no hay suerte hasta el momento.

Answer 1

Insinuación: $\sqrt{|a_nb_n|}\leq (|a_n|+|b_n|)/2$.

Answer 2

¿Estás familiarizado con la desigualdad de Cauchy-Schwarz? $$ \ sum x_i y_i \ leq \ left (\ sum x_i ^ 2 \ right) ^ {1/2} \ left (\ sum y_i ^ 2 \ right) ^ {1/2}. $$

En este caso, tome$x_i = \sqrt{|a_i|}, y_i = \sqrt{|b_i|}$ y busquemos $$ \ sum \ sqrt {| a_n b_n |} \ leq \ left (\ sum | a_i | \ right) ^ {1/2} \ left (\ sum | b_i | \ right) ^ {1/2}

Answer 3

Permita que$\sum _{n=1}^{\infty} a_{n} $ y$\sum _{n=1}^{\infty} b_{n} $ converjan absolutamente. Demuestre que$\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{|a_{n}b_{n}|} $ converge.

Como$\sum |a_n|$ y$\sum |b_n|$ convergen,$\;\sum (|a_n| + |b_n|)\;$ converge.

Entonces, esencialmente, solo necesitas probar que$$\sqrt{|a_n b_n|} \leq \frac{1}{2}(|a_n| + |b_n|).$ $

Answer 4

Sugerencia: 1) Tenga en cuenta que$\sum |a_n|$ y$\sum |b_n|$ convergen.

2) Demuestre que$\sum (|a_n| + |b_n|)$ converge.

3) Demuestre que$\sqrt{|a_n b_n|} \leq \frac{1}{2}(|a_n| + |b_n|)$, por lo tanto$\sum\sqrt{|a_n b_n|}$ converge.