En un espacio que no sea de Hausdorff, ¿no se puede cerrar un subconjunto compacto?

Question

En un espacio Hausdorff$X$, cada subconjunto compacto$Y$ está cerrado. Entonces, si relajo la condición de que$X$ sea Hausdorff, ¿es posible que no se cierre el subconjunto compacto$Y$ of$X$?

Answer 1

Sin lugar a duda. Considere$X = \{a, b\}$ con topología$\tau = \{\emptyset, \{a\}, X\}$. Tenga en cuenta que$(X, \tau)$ no es Hausdorff y que$\{a\}$ es compacto (las cubiertas abiertas para$\{a\}$ ya son finitas), pero no está cerrado.

Answer 2

Sí. Tome un espacio compacto de Hausdorff con la topología$\tau$ y debilite la topología, es decir, tome cualquier topología$\tau'$ estrictamente más débil que$\tau$, de modo que haya algún conjunto$U$ que esté abierto en topología$\tau$ pero no en$\tau'$.
Pero$U^c$ sigue siendo compacto en$\tau'$ (porque cualquier portada abierta para$\tau'$ sigue siendo una portada abierta para$\tau$). Entonces$U^c$ es un conjunto compacto que no está cerrado para la topología$\tau'$.

Answer 3

Si es posible. Deje$X=(-1,1)\cup\{0'\}$, donde el punto$0'$ es una "copia" distinta del punto$0$. Deje$\tau$ la topología en$X$ generada por los conjuntos$(-1,a)$,$(a,1)$,$((-1,b)\setminus\{0\})\cup\{0'\}$ y$((c,1)\setminus\{0\})\cup\{0'\}$, donde$a\in(-1,1)$ ,$b\in(0,1)$ y$c\in(-1,0)$.

Esta topología no es Hausdorff y el conjunto$[-1/2,1/2]$ es compacto pero no está cerrado.