Si $|f(x)|$ es una función diferenciable, entonces $f(x)$ es también?

Question

Si $|f(x)|$ es una función diferenciable, entonces $f(x)$ es también una función diferenciable.

¿Por qué está mal? ¿Puede encontrar un contraejemplo, por favor? Parece una frase verdadera.

Answer 1

Por poner un ejemplo muy extremo: dejemos que $f:\mathbb R \to \mathbb R$ sea dada por $f(x)=1$ si $x$ es racional y $f(x)=-1$ si $x$ es irracional. Entonces $|f|$ está constantemente $1$ , por tanto diferenciable (tantas veces como se quiera). Pero $f$ no es continua en ningún punto y por tanto no puede ser diferenciable.

Answer 2

¿Qué pasa con

$$f(x)=\begin{cases} 1,&\text{if }x\ge 0\\ -1,&\text{if }x<0\;? \end{cases}$$

Answer 3

Si $f$ no es continua, entonces $\left|f\right|$ puede ser continua e incluso diferenciable como señala Brian. Supongamos que $f$ es continua en $a$ y $\left|f(x)\right|$ es diferenciable en $a$ . Entonces, $$\lim_{x\to a}\frac{\left|f(x)\right|-\left|f(a)\right|}{x-a}=L\in \mathbb{R}$$ Si $f(a)>0$ por la continuidad, $f(x)>0$ cerca de $a$ y así $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L\in \mathbb{R}$$ y $f$ es diferenciable en $a$ . Del mismo modo, si $f(a)<0$ .

Si $f(a)=0$ entonces $$\lim_{x\to a}\frac{\left|f(x)\right|}{x-a}=L\in \mathbb{R}$$ Como dijo Robert en los comentarios, $$L=\lim_{x\to a^+}\frac{\left|f(x)\right|}{x-a}\ge 0$$ mientras que $$L=\lim_{x\to a^-}\frac{\left|f(x)\right|}{x-a}\le 0$$ y así $L=0$ . Por lo tanto, $$\lim_{x\to a^+}\left|\frac{f(x)}{x-a}\right|=0\implies \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{x-a}=0$$ mientras que $$\lim_{x\to a^-}\left|\frac{f(x)}{x-a}\right|=0\implies \lim_{x\to a^-}\frac{f(x)}{x-a}=0$$ y así $f$ es diferenciable en $0$ .

Moraleja: Si $f$ es discontinuo, entonces $\left|f\right|$ puede ser diferenciable. Si $f$ es continua y $\left|f\right|$ es diferenciable entonces $f$ también es diferenciable