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Un espacio de ideales

Definición: Dejar $R$ ser un anillo conmutativo con 1. Dotar al juego de poder $2^R$ con el producto de la topología. El espacio ideal $\mathcal{I}(R)$ se define como el subconjunto de $2^R$ consta de ideales, equipado con la topología inducida por.

Este es el anillo de la teoría de la analogía de la Gromov--Grigorchuk espacio de marcado de grupos, que pueden ser utilizados para dar buen pruebas de hechos simples acerca de la geometría algebraica de los grupos (cf. este papel por Champetier y Guirardel). Mi pregunta es:

Es el "espacio ideal" de un anillo de un estándar de construcción en propiedad conmutativa de álgebra o la geometría algebraica? Si es así, cómo se llama y donde puedo leer mas sobre esto?

Mi motivación es fortalecer la analogía entre la geometría algebraica de los grupos y de los clásicos de la geometría algebraica.

Para demostrar que es un concepto útil, voy a dar a una aplicación. Pero primero, aquí están algunos hechos básicos.

  • $\mathcal{I}(R)$ es compacto (porque es un subconjunto cerrado de $2^R$, que es compacto por el Teorema de Tychonoff), Hausdorff y totalmente desconectado.
  • Cada punto de $I\in \mathcal{I}(R)$ está contenida en un canónica subconjunto cerrado

    $U_I=\{J\in \mathcal{I}(R)\mid I\subseteq J \}$

    (que en realidad es isomorfo a $\mathcal{I}(R/I)$).

  • Si $R$ es Noetherian, a continuación, cada una de las $U_I$ es igual al conjunto de ideales que contienen un (finito) grupo electrógeno $I$, y por lo tanto está abierto.

  • El subconjunto de primer ideales en $\mathcal{I}(R)$ se cierra: en efecto, para cada par de no-unidades $x,y$, el subconjunto $N(x,y)=\{x\notin I, y\notin I, xy\in I\}$ está abierto, y la unión de estos conjuntos es el complemento de un conjunto de primer ideales.

Ahora aquí está un ejemplo de la aplicación de una prueba de un conocido lema.

Lema: Si $R$ es un Noetherian anillo entonces existe un conjunto finito de primer ideales $\mathfrak{p}_1,\ldots,\mathfrak{p}_k\subseteq R$ con la propiedad de que cada primer ideal contiene una de las $\mathfrak{p}_i$.

Prueba: El conjunto de $U_{\mathfrak{p}}$ $\mathfrak{p}$ prime es una cubierta abierta de la serie de prime ideales. Desde el conjunto del primer ideales es compacto, existe un número finito de subcover. QED

Por cierto, mi investigación se centra, entre otras cosas, la geometría algebraica de los grupos, pero se trata de un par de años desde que estudié algebraicas geometría o álgebra conmutativa. Esta pregunta ha sido reeditado en MathOverflow.

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Console Puntos 608

Este espacio es considerado en este documento. Para un f.g. conmutativa anillo de $R$, se determina el tipo topológico de $\mathcal{I}(R)$.

Este documento se centra en el caso de un finitely libres generados por el anillo conmutativo, pero el caso general se dirige, consulte la Sección 4: se considera que, más generalmente, en el caso de los submódulos de un $R$-módulo ($R$ cualquier anillo). El espacio de ideales de un anillo es el caso particular de la libre módulo de rango 1.

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