¿Cómo obtener el intervalo de confianza de un ensayo de Bernoulli si$\hat{p} = 0$?

Question

Sé que la fórmula estándar para el CI Bernoulli es:

ps

Si$$\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ ¿cómo calculo el intervalo de confianza cuando$\hat{p} = \frac{m}{n}$ es pequeño y$\ n$? Este caso colapsaría la ecuación anterior a$\ m = 0$, lo que implica que el intervalo de confianza no mejora con un mayor$\ 0 \pm 0$.

En mi opinión, el IC debería comenzar en [0,1] y el límite superior debería disminuir a medida que$\ n$ aumenta, dado que$\ n$ permanece en 0.

Answer 1

La razón de la habitual "CLT" intervalo de confianza se convierte en 0 es porque al $p$ es muy cercano a 0 o 1 (y el número relativo de las muestras es bajo), la CLT se convierte en una mala aproximación. Esto es porque cuando $p=0,1$, la variable aleatoria es constante. Por otro lado, cuando se $p$ es muy cercano a 1 o 0, se necesita una cantidad muy grande de muestras para distinguir $p$ de exactamente 1 o 0.

Hay un par de métodos para obtener el verdadero intervalo de confianza. La manera más fácil apelar a la Wilson intervalo de puntuación:

$$\frac{1}{1 + \frac{1}{n} z^2} \left[ \hat{p} + \frac{1}{2n} z^2 \pm z \sqrt{ \frac{1}{n}\hat{p} \left(1 - \hat{p}\right) + \frac{1}{4n^2}z^2 } \right].$$

La segunda opción es numéricamente estimar el verdadero intervalo de confianza de manera explícita el uso de la distribución binomial, en contraposición a apelar a la distribución normal.