Productos semidirectos

Question

Necesito ayuda para mostrar que$\text{SL}_{2}(\mathbb{Z}_{3})$ es un producto semidirecto del grupo cuaternión y el grupo cíclico$C_{3}$. ¿Algunas ideas? No quiero escribir los elementos de$\text{SL}_{2}(\mathbb{Z}_{3})$, parece un método muy feo.

Gracias

Answer 1

Una triangular superior de la matriz con todos los no-cero entradas igual a $1$ y una triangular inferior de la matriz del mismo tipo generan dos subgrupos cíclicos de orden $3$ - que se Sylow-3 subgrupos. El número de Sylow-3 subgrupos en $G=SL(2,3)$ es $1$ o $4$; pero por el comentario, debe ser $4$; decir $P_1, P_2, P_3, P_4$. Por lo tanto el índice de normalizador de Sylow-3 subgrupo es $4$ : $[G:N(P_1)]=4$ es decir, $G$ tiene un subgrupo de índice $4$. (tenga en cuenta que, a continuación,$|N(P_1)|=6$)

A continuación, habrá un homomorphism $\phi\colon G\rightarrow S_4$, $ker(\phi)\subseteq N(P_1)$ (Generalizada del Teorema de Cayley).

• Si $ker(\phi)=N(P_1)$, entonces será un subgrupo normal de $G$, e $P_1$ es una característica de los subgrupos de $N(P_1)$ (ya que es único subgrupo de orden 3); por lo tanto $P_1\triangleleft G$, contradicción.

• Si $ker(\phi)=P_1$,$P_1\triangleleft G$, contradicción

• Si $ker(\phi)=\{1\}$, $G\cong S_4$ contradicción (¿por qué?)

• Por lo tanto, $|\ker(\phi)|=2$, y por lo $ker(\phi) \cong \mathbb{Z}_2$. A continuación, $G/ker(\phi)$ va a ser isomorfo a un subgrupo de orden 12 $S_4$; debemos tener $G/\mathbb{Z}_2 \cong A_4$.

Desde $A_4$ tiene un subgrupo normal de índice de 3, por el teorema de la correspondencia, $G$ tiene un subgrupo normal de índice $3$, conteniendo $ker(\phi)=\mathbb{Z}_2$. Este subgrupo normal de índice $3$ (de ahí la orden de 8) será Sylow-2 subgrupo de $G$.

Desde $G$ ha elemento único de la orden de $2$; la normal de Sylow-2 subgrupo también tiene un elemento de orden 2, es $\mathbb{Z}_8$ o $\mathbb{Q}_8$. Puede no ser $\mathbb{Z}_8$ debido a que el normal subgrupo de índice $3$ $A_4$ contiene 3 subgrupos de índice $2$; el correspondiente subgrupo $\mathbb{Z}_8$ también debe contener tres subgrupos de índice $2$, contradicción.

Hemos demostrado

$G$ tiene normal de Sylow-2 subgrupo isomorfo a $\mathbb{Q}_8$

El resto es entonces fácil responder a la pregunta:

Desde $Q_8 \triangleleft G$, $\mathbb{Z}_3\leq G$, por lo $Q_8\mathbb{Z}_3\leq G$, y la informática fin vemos a $Q_8\mathbb{Z}_3=G$.

Por lo tanto $Q_8\triangleleft G$, $\mathbb{Z}_3\leq G$, $G=Q_8\mathbb{Z}_3$, y $\mathbb{Z}_3 \cap Q_8=\{1\} \Rightarrow G=Q_8\rtimes \mathbb{Z}_3$

Answer 2

Creo que la manera más fácil es simplemente para comprobar los elementos. Aquí hay dos maneras de demostrarlo, pero utilizan más el grupo de teoría.

2-local: Si p es (un campo cuyo fin es) una extraña energía primaria, a continuación, SL₂(q) tiene cuaterniones Sylow 2-subgrupos de H generado en una de dos maneras dependiendo de q mod 4. Comprobar que, de hecho, el estándar de Sylow p-subgrupo de K (que consta de la parte superior triangular de matrices con 1s en la diagonal) se normaliza H cuando q = 3, y que por consideraciones de orden el resultado de semi-producto directo es el de todo el grupo.

3-local: Si p es (un campo cuyo fin es) de potencia principal, a continuación, SL_n(q) tiene Sylow p-subgrupos que consiste de la parte superior triangular de matrices con 1s en la diagonal, y su normalizador es toda la parte superior triangular de matrices (con determinante 1). Sin embargo, cuando n = 2 y q = 3, la única posible diagonales son [1,1] y [-1,-1], ambos de los cuales centralizar la Sylow p-subgrupo. De ahí el Sylow p-subgrupo tiene un complemento normal, por Burnside, y en este caso que el complemento es la totalidad de Sylow 2-subgrupo, que es de cuaterniones como de costumbre, ya que n = 2 y p es impar.

Aunque tal vez usted se está preguntando cómo recordar la dirección en la que el semi-directa producto se va. Siempre me olvides, aunque debería ser lo suficientemente importante como para que yo recuerde. He desarrollado estas dos maneras de recordar:

Normalizador mnemónico: SL₂(impar) generalmente tiene cuaterniones Sylow 2-subgrupos; llame a uno H. En este grupo de orden 24, el normalizador todos los de SL₂(q) y hemos terminado, o el normalizador es sólo H a sí mismo. En el último caso, tendríamos que K era normal por Burnside y el hecho de que un adecuado subgrupos de Q₈ tiene 2-grupos como automorphism grupos. Así que ya sea que usted tiene C₃ que actúa sobre Q₈ o Q₈ actúe en C₃. Ambos semi-directa de los productos de ocurrir, pero sólo uno de ellos es SL₂(3); ¿cómo se puede recordar que uno?

Bueno, SL₂(K) es por lo general un perfecto grupo; generalmente no tiene abelian cocientes. Las únicas excepciones a esta matriz de las identidades de grupo para finito de los campos siempre están en la característica definitoria. SL₂(2) tiene un abelian cociente de orden 2, y SL₂(3) tiene una abelian cociente de orden 3. Por lo tanto es la C₃ que actúa sobre Q₈.

Cociente mnemónico La otra mnemónico es que PSL(2,3) = Alt(4) tiene un normal Sylow 2-subgrupo, y Z(NM(2,3)) es de orden 2, por lo que SL(2,3) tiene un normal Sylow 2-subgrupo (que es de cuaterniones como de costumbre). Esto encaja con las otras excepciones PSL(2,4) = PSL(2,5) = Alt(5) y PSL(2,9) = Alt(6).

Yo estaría interesado en una mejor mnemónico:

Hay algunas natural matrixy cosa que SL₂(3) actúa como un 3-ciclo?

Hay algunas razones generales SL₂(q) estaría actuando sobre un espacio vectorial sobre el campo con 2 elementos?