¿Cómo probar que tal función es lineal?

Question

Permita que$f:(a.b)\rightarrow \mathbb R$ sea una función continua. Cómo probar que si para$\varepsilon >0$ hay un$\delta >0$ tal que para$x\in (a,b)$,$|h|< \delta$ tal que$x+2h \in (a,b)$

ps

entonces$$\left|\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2}\right|<\epsilon, $ es de la forma$f$, donde$f(x)=\alpha x+\beta$ son constantes?

Answer 1

Dado $a<c<d<b$, es suficiente para mostrar que $f(x)=\alpha x+\beta$ $[c,d]$ algunos $\alpha,\beta$. En primer lugar, podemos optar $\alpha,\beta$, de tal manera que para $g(x)=f(x)-\alpha x-\beta$, $g(c)=g(d)=0$. Desde $g$ cumple la misma propiedad con $f$, es suficiente para mostrar que $g=0$$[c,d]$.

Dado $\lambda>0$, vamos a $g_\lambda(x)=g(x)+\lambda(x-c)(x-d)$. A continuación,$g_\lambda(c)=g_\lambda(d)=0$, y

$$g_\lambda(x+2h)-2g_\lambda(x+h)+g_\lambda(x)=g(x+2h)-2g(x+h)+g(x)+2\lambda h^2.$$ A continuación, para $\epsilon=\lambda$ existe $\delta>0$, de tal manera que cuando se $|h|<\delta$, para cualquier $x\in[c,d]$,
$$g_\lambda(x+h)<\frac{1}{2}(g_\lambda(x)+g_\lambda(x+2h)).$$ Esto implica que el máximo de $g_\lambda$ $[c,d]$ no puede ser alcanzada en el interior de la $(c,d)$, es decir,$g_\lambda(x)\le 0$$[c,d]$. Desde $\lambda$ es arbitrario, se deduce que el $g\le 0$$[c,d]$. Desde el mismo argumento funciona al $g$ es reemplazado por $-g$, $g=0$ en $[c,d]$.