Dado$x^5 \equiv 2 \pmod {2011},$ Necesito resolver por$x$

Question

¿Cómo puedo resolver esta ecuación ?:

ps

Quiero decir, no veo cómo puedo resolverlo sin usar una computadora ...

Answer 1

Usted no tiene a juicio de varios de los exponentes.

Comience por comprobar que $2$ es un quinto poder residuo $\bmod 2011$. Esto se hace mostrando que el $2^{402}\equiv 1$ (todos equivalencia se entiende aquí para ser $\bmod 2011$). Han certificado que, a la conclusión de que

$2^{402m+1}\equiv 2$

Para cualquier número entero $m $. Pero entonces el exponente $402m+1$ es un múltiplo de a $5$ $m=2$ líder:

$2^{805}=(2^{161})^5\equiv 2$

de modo que $x=2^{161}\equiv 1525$ se identifica como una solución.

Las otras soluciones que se obtienen a partir de la multiplicación por una primitiva de la quinta raíz de la unidad. Este iba a ser $402$nd poder de un no-la quinta potencia de residuos. Hemos visto que el $2$ es la quinta potencia residuo, sino $3$ le da : $3^{402}\equiv 1328$. Por lo tanto la solución es completada por los sucesivos multiplicación de $1525$$1328$. Después de la clasificación de la solución completa está dada por

$\{123, 295, 453, 1525, 1626\} $

Answer 2

Sin un equipo es un montón de trabajo. (Pero me encantaría ver una solución inteligente!)

El punto principal es que el $2011$ es un primer y así el grupo multiplicativo de mod $2011$ es cíclico.

Así, en primer lugar usted necesita para encontrar una raíz primitiva de mod $2011$. Normalmente hay una pequeña.

$2$ orden $402$, por lo que no es una raíz primitiva, sino $g=3$ es una raíz primitiva.

Si $a$ es una raíz de $x^5=2$, entonces todas las raíces son de la forma$au$,$u^5=1$. Los elementos de orden $5$$g^{402k}$$k=1,\dots,4$$u=g^{402k}$$k=0,\dots,4$.

Por lo tanto, usted solo necesita encontrar una raíz de $x^5=2$, lo cual puede hacerse mediante pruebas de los poderes de la $g^5$; estos contienen los elementos de orden $402$. (Usted sólo tiene que probar exponentes coprime con $402=2 \cdot 3 \cdot 67$ $132$ exponentes.)

Answer 3

Para la solución de orden superior congruencias como $ a x^n \equiv b \bmod m $, se puede utilizar mathematica Reducir[]. Si desea hacerlo a mano, considere la posibilidad de un "tomando logaritmo". Dado que existe una raíz primitiva módulo $ m $, denotado $ r $, el menor entero positivo tal que $$ r^n \equiv a \bmod m $$ tiene para un determinado $ a $ es llamado el "índice" de $ a $ en relación al $ r $ modulo $ m $, denotado $ \text{ind}_r a $. A continuación, el original de la orden superior de la congruencia se puede convertir lineal de congruencia, es decir, $$ n \, \text{ind}_r x \equiv \text{ind}_r b - \text{ind}_r a \bmod \varphi (m). $$ La solución para $ x $ es independiente de la elección de la raíz primitiva $ r $ modulo $ m $.

Answer 4

Sugerencia: primer aviso de que 2011 es primordial, hay exactamente$5$ soluciones, porque$\deg (x^5-2) = 5$.