Prueba de primos infinitos

Question

Hay una prueba para infinitos números primos que no entiendo.

justo en el medio de la prueba: "dado que cada$m$% se puede escribir de una manera única como producto de la forma:$\prod_{p\leqslant x}p^{k_p}$. Vemos que la última suma es igual a:$\prod_{\binom{p\leqslant x}{p\in \mathbb{P}}}(\sum_{k\leqslant 0}\frac{1}{p^k})$.

No veo eso. ¿Alguien puede explicarme este paso?

Answer 1

Supongamos que los números primos no exceda $x$ $2$, $3$, y $5$. Entonces \begin{align} & \prod_{\begin{smallmatrix} p\in\mathbb P \\ p\le x \end{smallmatrix}} \sum_{k\ge 0} \frac 1 {p^k} \\[10] = {} & \left( 1 + \frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \cdots+ \frac 1 {2^k} + \cdots \right) \left( 1 + \frac 1 3 + \frac 1 9 + \frac 1 {27} + \cdots+ \frac 1 {3^k} + \cdots \right) \times {} \\ {} y {} \times \left( 1 + \frac 1 5 + \frac 1 {25} + \frac 1 {125} + \cdots+ \frac 1 {5^k} + \cdots \right) \la etiqueta de un \\[12pt] = {} & 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 4 + \frac 1 5 + \frac 1 6 + \frac 1 8 + \frac 1 9 + \frac 1 {10} + \frac 1 {12} + \frac 1 {15} + \frac 1 {16} \\[6pt] {} y {} + \frac 1 {18} + \frac 1 {20} + \frac 1 {24} + \frac 1 {25} + \frac 1 {30} + \frac 1 {32} + \frac 1 {36} + \cdots \end{align} En esta última suma se excluyen $1/7$, $1/11$, $1/13$, $1/14$, etc. y sólo incluyen los números de $1/m$ donde $m$ no tiene factores primos distintos de $2$, $3$, y $5$. Esta última serie debe converger a un número finito porque los tres de la serie en la línea de la etiqueta (a) convergen a lo finito de los números.

Por el contrario, la serie armónica $\displaystyle\sum_{m=1}^\infty \frac 1 m$ diverge a $+\infty$.

Answer 2

No todos los $m$% pueden escribirse como$\prod_{\substack{p\in\mathbb{P},\\ p\leq x}}\sum_{k\geq0}\frac{1}{p}$, es que la suma de todos los $m$% es lo mismo que el producto y la suma. Lo que tu prueba dice que es igual es$$\prod_{\substack{p\in\mathbb{P},\\p\leq x}}\sum_{k\geq0}\frac{1}{p}=\sum_{\substack{m \text{ with}\\ \text{prime}\\ \text{factors}\\\leq x}}\frac{1}{m}$ $

Por ejemplo, di$x=6$. Luego, sumamos el$m$ con los factores primos de$2$,$3$,$5$. Enumerando estos, tenemos algo como

ps

Answer 3

Solo recuerda esta ecuación:

ps

Donde sabe$$\zeta(s) = \prod\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}.$ no converge, entonces si hay una cantidad finita de números primos, entonces la parte derecha ha terminado, entonces hay una cantidad infinita de números primos.

Answer 4

¡Ese es el "teorema fundamental de la arithemia"! https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_arithmetic

Answer 5

Es solo la distributividad de la suma de la multiplicación: supongamos que hay$n$ primes$p_1, p_2,\dots, p_n$ menos que$x$, y ordenemos el$m$ s con solo divisores primos en$\{p_1, p_2, \dots, p_n\}$ según el orden lexicográfico en$n$ - uples de exponentes$i_1$ de$p_1$,$i_2$ de$p_2$, & c. en la descomposición de poder principal de tales$m$ s.

En aras de la simplicidad, consideremos el caso cuando$n=2$. Entonces tenemos: \begin{align*} \sum\frac1m=1&+\frac1{p_1}+\frac1{p_1^2}+\frac1{p_1^3}+\dotsm \\ &+\frac1{p_1p_2}+\frac1{p_1^2p_2}+\frac1{p_1^3p_2}+\dotsm\\ &+\frac1{p_1p_2^2}+\frac1{p_1^2p_2^2}+\frac1{p_1^3p_2^2}+\dotsm\\ &\ \ \vdots\\ &=\biggl(1+\frac1{p_1}+\frac1{p_1^2}+\frac1{p_1^3}+\dotsm\biggr)\biggl(1+\frac1{p_2}+\frac1{p_2^2}+\frac1{p_2^3}+\dotsm\biggr) \end {align *}