Cuando se puede desuspend un homotopy cogroup?

Question

Cualquier grupo topológico $G$ tiene una clasificación de espacio, cuya loopspace es un (homotopy) grupo que se homotopy equivalente a $G$ en una manera que preserva la estructura del grupo. Más generalmente, si $G$ $A_\infty$- grupo (un espacio con una operación binaria que satisface el grupo de axiomas hasta coherente homotopy), del mismo modo se puede delooped a una clasificación de espacio.

Ahora supongamos que usted tiene un cogroup en la categoría de punta espacios. Si es que en realidad, literalmente, un cogroup, no es difícil mostrar que debe ser un punto. Sin embargo, hasta (coherente) homotopy, la suspensión de cualquier espacio es un cogroup. Es a la inversa verdad? Puede usted desuspend cualquier $A_\infty$-cogroup? Hay ejemplos de homotopy cogroups (no $A_\infty$) que no son suspensiones? De manera más general, hay criterios que puede utilizar para probar que un espacio no tiene la homotopy tipo de suspensión? El único que sé es que todos los de la copa de los productos deben desaparecer, pero esto también se aplica automáticamente para un homotopy cogroup (de hecho, para cualquier "co-H-espacio").

Answer 1

Mike Hopkins me dice que es cierto que para cualquier_∞ cogroup espacio Y, la homotopy límite de X de los asociados cobar es un complejo de desuspension de Y (Y = ΣX como_∞ cogroups)--no necesitamos ni ninguna conectividad supuestos en Y.

Edit: creo que la manera de demostrar esto es buscar en el espectro de la secuencia de la homología de X. Es fácil ver que, algebraicamente se degenera en el Correo² página a algo que podría ser la homología de un desuspension de Y. no sé cómo comprobar que este algebraicas convergencia tiene nada que ver con X, o cómo manejar π₀ y π₁ cuestiones. Sin embargo, en el caso de que Y es la suspensión de un discreto señalado, uno puede comprobar con la mano que X a ser el original acentuados, lo que hace posible que estas de baja dimensión problemas de no causar problemas.

Answer 2

Mientras que el n-laboratorio de página en la co-H-espacios podría ser descrito como un poco escaso, pero sí contienen una referencia a un documento en el Manual de la Topología Algebraica. Varias partes de este libro están en la "vista previa" en la búsqueda de libros de google, en particular, la página 1153, que contiene la mágica frase:

Ahora podemos construir la celda complejos de $S^n \cup_\alpha e^m$ que son co-H-espacios, pero no las suspensiones.

Esto sigue a un teorema que clasifica cuando tales espacios son co-H-espacios y las suspensiones.

El artículo específico es el acertadamente llamado "Co-H-espacios" por Martin Arkowitz, y es en el capítulo 23 del Manual de Topología Algebraica, editado por Ioan James. Yo recomendaría esto como un primer lugar a buscar para averiguar más acerca de estos espacios.

Por cierto, no creo que tu comentario acerca de delooping. Estoy casi seguro de que hay H-espacios que no pueden ser delooped por lo que sea hay H-espacios que no son $A_\infty$-grupos o su reclamación es incorrecta. Lamentablemente, actualmente no tengo ninguna rodeado de mi stock habitual de la topología algebraica libros de texto, así que no puede mirar esto (y usted puede hacer una búsqueda en internet así como yo puedo). Se pueden suministrar en una referencia para el delooping reclamo?

Answer 3

Hopkins resultado se mencionó anteriormente da una coordenada enfoque libre de una lá Segal. El papel escribí con Schwänzl y Vogt:

Comultiplication y la suspensión. Topología De Appl. 77 (1997), no. 1, 1-18,

da una verdadera co-operadic enfoque: nos muestran que un 2-conecta el espacio que tiene una homotopy todo co-acción por la Stasheff operad (es decir, un co-$A_\infty$-estructura) es siempre una suspensión.

Este documento responde a la primera de las preguntas planteadas anteriormente.

Hay una pregunta abierta sobre este asunto que me gustaría llevar. Hopkins afirma que su resultado se da 1-espacios conectados, pero yo y mis co-autores sólo podía obtener nuestro resultado para trabajar por 2-conectado. Hopkins de la prueba, que se basa en la Bousfield espectral de la secuencia, nunca apareció (nuestra prueba implicadas la mayor Blakers-Massey teoremas).

Hopkin resultado se expresa, pero no probada, en: Formulaciones de cocategory y la iterada de la suspensión. Algebraicas homotopy y locales de álgebra (Luminy, 1982), 212-226, Astérisque, 113-114, Soc. De matemáticas. Francia, París, 1984. Por lo tanto no sabemos si el 1-conectado caso de que realmente ha sido solucionado o no.

Nota adicional: Schwänzl, Vogt y yo también muestran que si el espacio es muy conectado con el respeto a sus CW dimensión (es decir, $(n-1)$-metaestable), entonces la existencia de una co-$A_n$-estructura es equivalente a la existencia de una co-$A_\infty$-estructura. De ello se deduce que también desuspends.

Answer 4

Esta es una pregunta que yo me lo he preguntado, pero nunca encontró una respuesta. Por analogía con la historia de Una infinidad de espacios y grupos topológicos, a usted le gustaría ser capaz de empezar con un co-A-infinito espacio Y, a construir un "cobar compleja" en la que, a continuación, tomar el homotopy límite de que el complejo de obtener un espacio X, y, a continuación, la esperanza de que ΣX=Y.

Si esto tiene alguna oportunidad, es mejor que funcione cuando Y ya es conocido por ser una de la suspensión. En el documento de Goerss, "Barratt del desuspension espectral de la secuencia y la Mentira anillo analyzer", del Cuarto de galón. J. de Matemáticas de Oxford, 44 (1993), algo como esto queda demostrado. Él construye (en realidad, él describe cómo Barratt construye) un cosimplicial espacio cuyo n-ésimo espacio es homotopy equivalente a un n-veces cuña de ΣX, y espectáculos para simplemente conectado X que el Tot de este complejo recupera X.

Dado esto, sospecho que debe ser posible demostrar que "co-A-infinito"="suspensión", al menos para 2-espacios conectados.

Edit: algunas de estas ideas discutidas en el comentario, en virtud de la cuestión; ya que estaban ocultos, no me he dado cuenta hasta ahora.