Números enteros $n$ tal que $n^2$ es de la forma $3k+2$

Question

Encontrar todos los enteros $n$ tal que $n^2$ es de la forma $$3k+2.$$

Al observar me parece que no tiene solución entera, pero no puedo resolverlo matemáticamente. Se agradece cualquier pista al respecto. Gracias de antemano.

Answer 1

Una pista: Escriba $n$ como $3m+r$ con $m\in\Bbb Z$ y $r\in\{0,1,2\}$

Answer 2

$$n^2 = 3k+2$$

Resolviendo para k:

$$k = \frac{n^2 - 2}{3}$$

Para que esto sea un número entero,

$$n^2 - 2 \equiv 0 \mod 3$$ $$n * n \equiv 2 \mod 3$$

La propiedad fundamental de la multiplicación en la aritmética modular establece:

$$(a\ \%\ m) * (b\ \%\ m) \equiv (ab\ \%\ m) \mod m$$

donde % es el operador de módulo. Por lo tanto:

$$n * n \equiv 2 \equiv (n\ \% \ 3)^2 \mod 3$$

$n\ \%\ 3$ puede ser $0$ , $1$ o $2$ Así que $(n\ \%\ 3)^2$ puede ser $0$ , $1$ o $4$ respectivamente. Ninguno de ellos es $2$ (mod $3$ ), por lo que $k$ nunca puede ser un número entero, independientemente de lo que elijas que sea n.

Answer 3

Cualquier cuadrado perfecto, digamos $n^2$ cuando se divide por $3$ deja $0$ o $1$ como resto. ( Compruebe usted mismo tomando $n$ como $3m$ , $3m+1$ o $3m+2$ ). Aquí $(3k+2)$ cuando se divide por $3$ , hojas $2$ como resto. Por lo tanto, $(3k+2)$ no puede ser un cuadrado perfecto para cualquier número entero $k$ .